篇一：|a|e等于什么
2024成都中考数学复习专题
矩形、菱形、正方形的性质与判定
基础题
1.(2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()
A.AB∥CD
B.AD＝BC
C.∠A＝∠B
D.∠A＝∠D
2.(2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()
A.(3，－3)
B.(－3，3)
C.(3，3)
D.(－3，－3)
第2题图
3.(2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是()
A.互相平分
B.互相垂直
C.互相平分且相等
D.互相垂直且相等
4.(2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()
第4题图
A.1B.2C.3D.45.(2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.对角线BD的长度减小
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
第5题图
6.如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为()
第6题图
A.12B.16C.2D.327.(2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则3－1133A.
B.
C.
D.
2223AB＝()
BC
第7题图
8.(2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝()
第8题图
13A.45°＋α
B.45°＋α
2213C.90°－α
D.90°－α
229.(2023河北)如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝()
A.43B.83C.12D.16第9题图
10.[新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形．
第10题图
11.(2023怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为________．
第11题图
12.(2023绍兴)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是________．
第12题图
13.(2023河南)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为________．
14.[新考法—条件开放](2023十堰)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，11C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
22(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当?ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
第14题图
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连接AE，CF，EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G.
(1)判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)若AE＝5，tan∠DAE＝2，EG＝2GF，求AG的长．
第15题图
拔高题
16.(2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内
角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．
第16题图
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；
②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
课时2基础题
1.(2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()
A.20°
B.60°
C.70°
D.80°
第1题图
2.如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为()
第2题图
A.3B.4C.5D.63.如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4cm，则剪下来图形的周长为()
第3题图
A.4cm
B.42cm
C.16cm
D.162cm
4.(2022青岛改编)如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为________．
第4题图
5.[新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝________.
第5题图
56.(2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝.
第6题图
(1)△ADE的面积为________；
(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为________．
7.(2023内江)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：FA＝BD；
(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
第7题图
8.(2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.
(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
(2)当CD＝4时，求EG的长．
第8题图
拔高题
9.(2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()
第9题图
A.菱形→平行四边形→矩形
B.菱形→矩形→菱形
C.平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→菱形→正方形
10.(2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.
(1)求证：PE∥FG；
(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．
图①
图②
第10题图
参考答案与解析
1.C
2.C
【解析】∵正方形的边长为3，∴DC＝BC＝3，DC与BC分别垂直于y轴和x轴．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为(3，3).
3.D
【解析】如解图，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥DB∥GF，11HG∥AC∥EF，EF＝
AC，FG＝
BD，∴四边形EFGH为平行四边形．要使其为正方形，22即EF⊥FG，FE＝FG，则AC⊥BD，AC＝BD，即对角线一定互相垂直且相等．
第3题解图
4.B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4.∵将线段AB水平向右平移得到线段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CE＝4时，?ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC－CE＝6－4＝2.
5.C
【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确，∵向左扭动框架，∴BD的长度减小，故B正确；∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD的面积变小，故C错误；∵平行四边形ABCD的四条边长度不变，∴四边形ABCD的周长不变，故D正确．
6.B
【解析】如解图，连接AC，∵点E，F分别为AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中11位线，∴AC＝2EF＝4.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S菱形ABCD＝
AC·BD＝
×4×822＝16.
第6题解图
7.D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠ABC＝90°，∴∠OBC＝
1AB3∠OCB.∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝
∠AOB＝30°，∴
＝tan∠ACB＝tan30°＝
.
2BC38.D
【解析】∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CBE＋∠DBE＝β＋α.∴∠ADB＝∠ABD＝β＋α.∵∠BAD＋3∠ADB＋∠ABD＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－
α.
29.B
【解析】∵S正方形AMEF＝16，∴AM＝4.∵M是斜边BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边上的中线，∴BC＝2AM＝8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝BC2－AB2＝43，∴S△ABC11＝
AB·AC＝
×4×43＝83.
2210.AD∥BC(答案不唯一)
【解析】当AD∥BC，AD＝BC时，四边形ABCD为平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
11.3【解析】如解图，过点P作PF⊥AB于点F，∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC.∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠AEP＝∠AFP.∵AP＝AP，∴△AEP≌△AFP(AAS)，∴PE＝PF.∵PE＝3，∴点P到直线AB的距离为PF＝3.
第11题解图
12.10°或80°
【解析】如解图，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′.在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°.∵AC＝AE，∴∠AEC＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°.综上所述，∠AEC的度数是10°或80°.
第12题解图
AN13.2或2＋1【解析】分两种情况，①当∠DNM＝90°时，如解图①，则MN∥AB，∴
BM
AD＝
.∵M是BD的中点，∴BD＝2BM，∴AD＝2AN＝2；②当∠DMN＝90°时，如解图②，BD连接BN，∵M是BD的中点，∠DMN＝90°，∴BN＝DN＝AB2＋AN2＝12＋12＝2，∴AD＝2＋1.综上所述，AD的长为2或2＋1.
图①
图②
第13题解图
14.解：(1)四边形BPCO为平行四边形．
11理由如下：由作法得，BP＝
AC，CP＝
BD，22∵四边形ABCD为平行四边形，11∴OC＝
AC，OB＝
BD,
22∴OC＝BP，OB＝CP,
∴四边形BPCO为平行四边形．
(2)当?ABCD的对角线垂直且相等时，四边形BPCO为正方形．
理由：∵AC⊥BD，∴四边形BPCO为矩形，∵AC＝BD，∴OB＝OC，∴四边形BPCO为正方形．
15.解：(1)四边形EGFH是矩形．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠AEH＋∠FHE＝180°.
∵EH⊥CF，FG⊥AE，∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形；
(2)∵FG⊥AE，∴∠AGF＝90°.
GF在Rt△AGF中，tan∠DAE＝
＝2，AG∴GF＝2AG.
∵EG＝2GF，∴EG＝4AG.
∵AE＝AG＋EG＝5，∴AG＝1，即AG的长为1.
16.20°；0°
【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．
课时21.C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA＝70°.
2.C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，BE＝DE，∵∠DBC＝60°，∴△BDC1是等边三角形，∴CD＝BD＝10.∵点F为BC中点，∴EF＝
CD＝5.
23.D
【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB＝4cm，根据勾股定理得BC＝42cm，故剪下来图形的周长为4×42＝162cm.
4.6【解析】∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，∴AC＝22.∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，∴∠AOE＝90°，∴AC＝AE＝22，AO＝2，∴OE
＝6.
5.6【解析】如解图，连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝135，AD＝BC＝12.在Rt△ABD中，BD＝AB2＋AD2＝13.∴AC＝BD＝13.∵AC与BD交于1311点O，∴AO＝CO＝BO＝DO＝
.∵S△BCO＝
S四边形ABCD＝
×12×5＝15，∴S△BCO＝S△BEO24411113460＋S△CEO＝
BO·EG＋CO·EF＝
×
(EG＋EF)＝15，∴EF＋EG＝15×
＝
.
22221313第5题解图
6.(1)3【解析】(1)如解图，过点E作EM⊥AD于点M，∵△ADE是等腰三角形，EA＝ED513＝，AD＝3，∴AM＝
AD＝，∴EM＝AE2－AM2＝22211＝
AD·EM＝
×3×2＝3.
22(2)13【解析】如解图，延长EM交AG于点N，∵∠BAD＝∠AME＝90°，∴AB∥NE，∴∠ABF＝∠FEN，∠BAF＝∠ENF.又∵点F为BE中点，∴BF＝EF，∴△AFB≌△NFE，∴EN＝BA＝3.由(1)知，EM＝2，∴NM＝1.∵∠NMD＝∠ADC＝90°，且M为AD中点，∴NM∥GD，∴NM为△AGD的中位线，∴GD＝2NM＝2，∴AG＝AD2＋GD2＝13.
53（）2－（）2＝2，∴S△ADE22第6题解图
7.证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.
又∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△AFE和△DCE中，∠AFE＝∠DCE，??∵
?∠AEF＝∠DEC，??AE＝DE，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.
又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；
(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知FA＝BD，又∵FA∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．
又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．
8.解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：
∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.
∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.
∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．
又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠DCO＝∠CDO＝60°，∴∠FDG＝90°－60°＝30°.
∵四边形OCDE是菱形，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∠CGD＝90°－∠DCE＝60°，∴∠EDG＝30°，∴DG＝EG.
∵CD＝4，DGDG∴tan∠DCG＝
＝，CD4∴DG＝4·tan30°＝4×43∴EG＝
.
39.B
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∠ABD＝60°，∴∠CDF＝60°，∠EDA＝∠CBD＝30°.∵OE＝OF，O为对角线BD的中点，∴DF＝EB.由对称的性质得DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，∠F2DC＝∠CDF＝60°，∠EDA＝∠E1DA＝30°，∠F1BC＝∠FBC＝30°，∴E1F2＝E2F1，∠E1DB＝60°，∠F1BD＝60°，∴DE1∥BF1，∴E1F2∥E2F1，∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，如解图①，当E，F，O三点重合时，DO＝BO，∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2，∴四边形E1E2F1F2是菱形，如解图②，当E，F分别为OB，OD的中点时，设DB＝4，则DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝23，连接AE，易得AE＝3AB＝3，根据对称性可得AE1＝AE＝3，∵AD2＝12，DE21＝9，2343＝，332AE2即AD2＝AE2∴△DE1A是直角三角形，且∠E1＝90°，∴四边形E1E2F1F21＝3，1＋DE1，是矩形；如解图③，当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．
图①
图②
图③
第9题解图
10.(1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.
∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；
(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.
∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.
又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.
∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.
∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.
篇二：|a|e等于什么
1.1空间向量及其运算
1.1.1空间向量及其运算
学
习
目
标
1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等1．通过空间向量有关概念的学习，培概念．(重点)
2．会用平行四边形法则、三角形法则养数学抽象素养．
2．借助于空间向量的线性运算，提升核
心
素
养
作出向量的和与差，掌握数乘向量运算数学运算素养．
的意义及运算律．(重点、易混点)
3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点)
国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养．
图1图21．空间向量
(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
(2)模(或长度)：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的→→向量，记为AB，模为|AB|．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
2．几类特殊的向量
(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？
[提示]
空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．
3．空间向量的线性运算
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
图1图2→→→→→→(1)如图1，OB＝OA＋AB＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b．
→→→→(2)如图2，DA＋DC＋DD1＝DB1．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三
个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：
对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．
4．空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
π如果〈a，b〉＝2，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．
(2)空间向量数量积的定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．
(3)数量积的几何意义
①向量的投影
如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.
②数量积的几何意义：
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
(4)空间向量数量积的性质：
①a⊥b?a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．
()
()
()
()
(2)两个相反向量的和为零向量．
(3)只有零向量的模等于0．
(4)空间中任意两个单位向量必相等．
[答案]
(1)√
(2)√
(3)√
(4)×
[提示]
大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．
2．下列命题中正确的是()
A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝B
[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A错误．
对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．
在D中，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于
零，故D错误．
对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．]
3．(教材P11练习A②改编)化简：
12?1?2(1)2(a＋2b－3c)＋5?3a－2b＋3c?＝________；
??→→→→(2)(AB－CD)－(AC－BD)＝________．
233111310510233(1)6aa－2ab＋6ac
(2)[(1)原式＝2aa＋b－2ac＋3aa－2ab＋3ac＝6aa－2ab＋116c．
→→→→(2)原式＝AB－AC－CD＋BD
→→→＝CB＋BD－CD
→→＝CD－CD
＝0．]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，则
→→(1)〈AB，A1C1〉＝________；
→→(2)〈AB，C1A1〉＝________；
→→(3)〈AB，A1D1〉＝________．
→→→→→→(1)45°
(2)135°
(3)90°[(1)因为A1C1＝AC，所以〈AB，A1C1〉＝〈AB，AC〉．
→→又∠CAB＝45°，所以〈AB，A1C1〉＝45°．
→→→→(2)〈AB，C1A1〉＝180°－〈AB，A1C1〉＝135°．
→→(3)〈AB，A1D1〉＝90°．]
空间向量的概念及简单应用
【例1】
(1)下列说法中正确的是
()
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
→→→D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC
B
[|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一→→→般的四边形不具有AB＋AD＝AC，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]
(2)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
→①试写出与AB是相等向量的所有向量；
→②试写出AA1的相反向量；
→③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模．
→→→→[解]
①与向量AB是相等向量的(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1，共3个．
→→→→→②向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D．
→③|AC1|＝→→→|AB|2＋|AD|2＋|AA1|2＝22＋22＋12＝9＝3．
1．两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
[跟进训练]
1．给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同；
→→②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p．其中不正确的个数是()
A．C．2B．1D．3B
[两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正→→方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1成立，故②正确；③显然正确．故选B．]
→→→2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：①AB与C1D1；②AC1→→→→→与BD1；③AD1与C1B；④A1D与B1C．其中互为相反向量的有n对，则n等于()
A．1C．3B．2D．4→→→→B
[对于①AB与C1D1，③AD1与C1B长度相等，方向相反，互为相反向量；→→→→对于②AC1与BD1长度相等，方向不相反；对于④A1D与B1C长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]
空间向量的线性运算
→【例2】
(1)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，N是A1B的中点，若CA→→→＝a，CB＝b，CC1＝c，则CN＝()
1A．2(a＋b－c)
1B．2(a＋b＋c)
1C．a＋b＋2c
1D．a＋2(b＋c)
(2)如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
→→①AA′－CB；
→→→②AA′＋AB＋B′C′．
→→→1(1)B
[若AB中点为D，CN＝CD＋DN＝2(a＋b＋c)，故选B．
]
→→→→→→→(2)[解]
①AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AD′．
→→→→→→→→→②AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AB′＋B′C′＝AC′．
→→向量AD′、AC′如图所示：
1．首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的→→→→终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An．
2．首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0．如图，→→→→→→→→OB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HO＝0．
[跟进训练]
→→→3．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1．
[解]
(1)∵P是C1D1的中点，1→1→→→→→1→∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b．
222(2)∵N是BC的中点，1→1→1→→→→∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC＝－a＋b＋2AD＝－a＋b＋2c．
(3)∵M是AA1的中点，→→→1→→∴MP＝MA＋AP＝2A1A＋AP
1?111?＝－2a＋?a＋c＋2b?＝2a＋2b＋c．
??→→→1→→又NC1＝NC＋CC1＝2BC＋AA11→→1＝2AD＋AA1＝2c＋a，11?→→?1??∴MP＋NC1＝?2a＋2b＋c?＋?a＋2c?
????313＝2a＋2b＋2c．
数量积的运算及应用
[探究问题]
1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？
[提示]
(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．
(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．
(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
2．联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a，b的夹角？如何求|a＋b|?
a·b[提示]
借助cos〈a，b〉＝|a|·|b|，求向量a，b的夹角．借助|a＋b|＝?a＋b?2＝a2＋2a·b＋b2求模．
【例3】
如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
→→(1)OA·OB；
→→(2)EF·CB；
→→→→(3)(OA＋OB)·(CA＋CB)．
[思路探究]
根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以
及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征．
→→[解]
(1)正四面体的棱长为1，则|OA
|＝|OB
|＝1．△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
→→→→→→OA·OB＝|OA||OB|cos〈OA，OB〉
1→→＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝2．
(2)由于E，F分别是OA，OC的中点，所以EF1AC，2→→→→→→于是EF·CB＝|EF||CB|cos〈EF，CB〉
1→→→→＝2|CA|·|CB|cos〈AC，CB〉
1→→＝2×1×1×cos〈AC，CB〉
11＝2×1×1×cos120°＝－4．
→→→→(3)(OA＋OB)·(CA＋CB)
→→→→→→＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC)
→→→→→＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)
→→→→→→→→→→＝OA2＋OA·OB－2OA·OC＋OB·OA＋OB2－2OB·OC
1111＝1＋2－2×2＋2＋1－2×2＝1．
1．(变条件，变结论)若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长．
→[解]
由题意知OH＝
1→→→1→2(OB＋OC)，OE＝2OA，→→→∴EH＝OH－OE＝
1→→→2(OB＋OC－OA)，1→→→→→→→→→→∴|EH|2＝4(OB2＋OC2＋OA2＋2OB·OC－2OB·OA－2OC·OA)，→→→→→→→→→又|OB|＝|OC|＝|OA|＝1．且〈OB，OC〉＝60°，〈OB，OA〉＝60°，〈OC，OA〉＝60°．
→→1→→1→→1∴OB·OC＝2，OB·OA＝2，OC·OA＝2．
111?11?→∴|EH|2＝4?1＋1＋1＋2×2－2×2－2×2?＝2，??22→即|EH|＝2，所以EH的长为2．
2．(变结论)求异面直线OH与BE所成角的余弦值．
3[解]
在△AOB及△BOC中，易知BE＝OH＝2，→1→→→1→→又BE＝2OA－OB，OH＝2(OB＋OC)，1→→→→1→→1→→1→∴BE·OH＝4OA·OB＋4OA·OC－2OB2－2OB·OC
11111111＝4×2＋4×2－2－2×2＝－2．
→→BE·OH2→→∴cos〈BE，OH〉＝＝－3，→→|BE||OH|π??又异面直线所成角的范围为?0，2?，故异面直线OH与BE所成角的余弦值??2为．
1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉求解．
2．非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a|·|b|．
→→提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．如本例中〈EF，CB〉＝→→〈AC，CB〉＝120°，易错写成60°，为避免出错，应结合图形进行计算．
一、知识必备
1．空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．
2．向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．
二、方法必备
1．数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置．
2．转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是()
→→→→A．AB与A1C1B．AB与CA
→→C．AB与A1D1→→D．AB与B1A1A
[A、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A．]
2．在棱长为2的正四面体ABCD中，若E、F分别是BC、AD的中点，则→→AE·AF等于()
1A．B．2C．－1D．11→→1→→1→1→→→→D
[AE·AF＝2(AB＋AC)·2AD＝4(AB·AD＋AC·AD)＝4×(2＋2)＝1．]
→→→→→3．化简：2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝________．
→→→→→[2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC
→→→→→→→＝2(AB＋BC＋CD＋DA)＋CD＋DA＋AC
→→＝0＋CA＋AC＝0＋0＝0．]
4．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________．
22[∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484．
∴|a－b|＝22．]
1.1.2空间向量基本定理
学
习
目
标
1．理解空间向量基本定理．(重点)
2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．(难点)
3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点)
核
心
素
养
1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．
2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．
→→→→图中的向量AB，AD，AA′是不共面的三个向量，请问向量AC′与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？
1．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．
思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？
[提示]
平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．
2．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
3．相关概念
(1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．
(3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
(4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？
[提示]
空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．
思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？
[提示]
基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．
4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯→→→→一的有序实数组{x，y，z}，使OP＝xOA＋yOB＋zOC，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．
()
(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．
()
(3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
[答案]
(1)√
(2)√
(3)×
[提示]
(1)√
{a，b，c}为空间一个基底，则a，b，c不共面，－a、b、2c也不共面，故{－a，b,2c}也构成空间一个基底．
(2)√
由共面定理知(2)正确．
(3)×
由c＝λa＋μb知a，b，c共面，不能构成基底．
2．(教材P16练习A①改编)对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是()
A．共面向量
C．不共面向量
B．共线向量
D．既不共线也不共面的向量
()
A
[根据共面向量定理知a，b,2a－3b一定共面．]
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是()
→→→A．AB，AC，AD
→→→C．D1A1，D1C1，D1D
→→→B．AB，AA1，AB1→→→D．AC1，A1C，CC1→→→C
[由题意知D1A1，D1C1，D1D不共面，可以作为空间向量的一个基底．]
向量共线问题
→【例1】
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝→→2→2ED1，F在对角线A1C上，且A1F＝3FC．求证：E，F，B三点共线．
→→→[证明]
设AB＝a，AD＝b，AA1＝c．
→→→2→∵A1E＝2ED1，A1F＝3FC，→2→→2→∴A1E＝3A1D1，A1F＝5A1C，→2→2→2→→∴A1E＝3AD＝3b，A1F＝5(AC－AA1)
2→→→＝5(AB＋AD－AA1)
222＝5a＋5b－5c．
2422?→→→2?∴EF＝A1F－A1E＝5a－15b－5c＝5?a－3b－c?．
??22→→→→又EB＝EA1＋A1A＋AB＝－3b－c＋a＝a－3b－c，→2→∴EF＝5EB．
∴E，F，B三点共线．
判断向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.
[跟进训练]
1．如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分→→别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线？
→→[解]
CE与MN共线，证明：∵M，N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．
→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝2CA＋AF＋2FB，1→→→1→→→→→→又MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－2CA＋CE－AF－2FB，1→→1→1→→→1→∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB，→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，→→→→∴CE∥MN，即CE与MN共线．
共面定理及应用
→1→【例2】
已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM＝OA31→1→＋3OB＋3OC．
→→→(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
→→→→[解]
(1)易知OA＋OB＋OC＝3OM，→→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，→→→→→∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC，→→→∴向量MA，MB，MC共面．
→→→(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
判断三个(或三个以上)向量共面的方法
(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．
(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．
[跟进训练]
2．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．
[证明]
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R为所在边的中点，→2→→2顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有PE＝3PM，PF＝3→→2→→2→PN，PG＝3PQ，PH＝3PR．
∵四边形MNQR为平行四边形，→→→2→2→2→∴EG＝PG－PE＝3PQ－3PM＝3MQ
2→→＝3(MN＋MR)
2→→2→→＝3(PN－PM)＋3(PR－PM)
2?3→3→?2?3→3→?＝3?2PF－2PE?＋3?2PH－2PE?
????→→＝EF＋EH，→∴由共面向量定理得EG，→→EF，EH共面，所以E，F，G，H四点共面．
基底的判断及应用
[探究问题]
1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？
[提示]
不唯一，不共面．
2．空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？
[提示]
基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来．
3．用基底表示向量应注意哪些问题？
[提示]
(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．
【例3】
(1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
→→→(2)如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′＝a，AB＝b，AC＝c，点M，N分→→别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量AM，AN．
[思路探究]
(1)判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
(2)借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．
[解]
(1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面．
则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c．
∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．
?1＝μ，∴?1＝λ，?0＝λ＋μ.
此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
→→→→1→(2)AM＝AB＋BM＝AB＋2BC′
→1→→→1→1→→＝AB＋2(BB′＋BC)＝AB＋2BB′＋2(AC－AB)
11＝b＋2a＋2(c－b)
111＝b＋2a＋2c－2b
111＝2a＋2b＋2c．
→→→→AN＝AA′＋A′B′＋B′N
→→1→＝AA′＋A′B′＋2B′C′
1→→＝a＋b＋2(A′C′－A′B′)
1＝a＋b＋2(c－b)
11＝a＋2b＋2c．
→→1．(变条件)若把本例3(2)中的AA′＝a改为AC′＝a，其他条件不变，则结果又是什么？
→→→[解]
AM＝AB＋BM
→1→＝AB＋2BC′
→1→→＝AB＋2(AC′－AB)
1＝b＋2(a－b)
11＝2a＋2b．
→→→AN＝AC′＋C′N
→1→＝AC′＋2C′B′
→1→＝AC′－2B′C′
→1→→＝AC′－2(A′C′－A′B′)
1＝a－(c－b)
211＝a＋2b－2c．
2．(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA′上，→且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量MP．
→→→→[解]
MP＝MC′＋C′A′＋A′P
1→→1→＝2BC′－A′C′－3AA′
1→→→1→＝2(BB′＋BC)－AC－3AA′
1→→→→1→＝2[AA′＋(AC－AB)]－AC－3AA′
11＝2(a＋c－b)－c－3a
111＝6a－2b－2c．
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求
出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量．
1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．
2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
→→→1．O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则()
→→→A．OA，OB，OC共线
→→C．OB，OC共线
→→B．OA，OB共线
D．O，A，B，C四点共面
→→→→→→D
[由OA，OB，OC不能构成基底知OA，OB，OC三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]
2．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的→→→一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()
A．1B．2C．3D．4D
[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个→→→基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由BA、BM、BN共面
且过相同点B，故A，B，M，N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，λμ∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ka＋kb，∴c与a，b共面与条件矛盾．
∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．]
→3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ→→→＝a，PR＝b，PS＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则GH＝________．(用a，b，c表示)
2112→→→1－3a＋2b＋2c
[GH＝PH－PG＝2(b＋c)－3a．]
4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝→→→→3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则2x＋4y＋2z＝________．
→3→3→→2[如图，由已知OG＝4OG1＝4(OA＋AG1)
3?→1→→??＝?OA＋3?
?AB＋AC??4??3→1→→1→1→1→→→＝4OA＋4[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝4OA＋4OB＋4OC，1∴x＝y＝z＝4，∴2x＋4y＋2z＝2．]
→→→5．如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝→c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)AP；
→(2)AM．
[解]
在平行六面体
ABCD-A1B1C1D1中，连接AC，AD1．
→1→→(1)AP＝2(AC＋AA1)
1→→→＝2(AB＋AD＋AA1)
1＝2(a＋b＋c)．
→1→→(2)AM＝2(AC＋AD1)
11＝2a＋b＋2c．
1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系
学
习
目
标
1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．(重点)
核
心
素
养
1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、2．掌握空间向量的坐标运算．(重点)
3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．(重点、难点)
4．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．
逻辑推理素养．
2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3000N，|F2|＝2000N，|F3|＝20003N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示．
1．空间中向量的坐标
一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都称为p的坐标分量．
思考1：若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示]
不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是．
2．空间向量的运算与坐标的关系
假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
22(4)|a|＝a·a＝x21＋y1＋z1；
a·b(5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝|a|·|b|＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
222222x1＋y1＋z1x2＋y2＋z2→思考2：若向量AB＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？
[提示]
不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是．
3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
?x2＝λx1(1)当a≠0时，a∥b?b＝λa?(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)??y2＝λy1?z2＝λz1x2y2z2的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b?x＝y＝z．
111(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
4．空间直角坐标系，当a(1)在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．
(3)z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．
(5)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标(或x坐标)，y叫做点M的纵坐标(或y坐标)，z叫做点M的竖坐标(或z坐标)．
(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}．
5．空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝x2＋y2＋z2．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
→(1)以原点为始点的向量OP的坐标和点P的坐标相同．
(2)若a·b＝0，则a⊥b．
()
()
(3)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是(0，b，c)．
()
(4)在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为(a,0，c)．
()
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√
[提示]
(2)×
a＝0或b＝0时，a与b不垂直．
(3)×
坐标应为(a,0,0)．
2．(教材P19例2改编)已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于()
A．(16,0,4)
C．(8,16,4)
B．(8，－16,4)
D．(8,0,4)
D
[4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．]
3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．
(－1,2,3)
[p＝(－1,2,3)．]
4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是________．
关于x轴对称
[点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]
空间向量的坐标运算
【例1】
(1)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别→→→为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{AB，AD，AA′}为基底，求下列向量的坐标．
→→→①AE，AG，AF；
→→→②EF，EG，DG．
(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，→→(2，－1，－2)．若p＝AB，q＝CD．求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q)．
1?→→→→1→→1→?[解]
(1)①AE＝AD＋DE＝AD＋2DD′＝AD＋2AA′＝?0，1，2?，??1?→→→→1→?AG＝AB＋BG＝AB＋2AD＝?1，2，0?，??→→→→→→1→?1?AF＝AA′＋A′D′＋D′F＝AA′＋AD＋2AB＝?2，1，1?．
??1?1→1→?1→→→→→1→→1→②EF＝AF－AE＝(AA′＋AD＋2AB)－(AD＋2AA′)＝2AA′＋2AB＝?2，0，2?，??→→→?→1→??→1→?EG＝AG－AE＝?AB＋2AD?－?AD＋2AA′?
????11?→1→1→?＝AB－2AD－2AA′＝?1，－2，－2?，??1?→→→→1→→→1→?DG＝AG－AD＝AB＋2AD－AD＝AB－2AD＝?1，－2，0?．
??→(2)由于A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝AB＝→(2,1,3)，q＝CD＝(2,0，－6)．
①p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)；
②3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)；
③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26．
用坐标表示空间向量的步骤
(1)
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
提醒：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
[跟进训练]
1．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求点P的坐标，使
→1→→(1)OP＝2(AB－AC)；
→1→→(2)AP＝2(AB－AC)．
→→[解]
AB＝(2,6，－3)，AC＝(－4,3,1)，→→∴AB－AC＝(6,3，－4)．
3→1→→1??(1)OP＝2(AB－AC)＝2(6,3，－4)＝?3，2，－2?，??3??3，，－2?．
则点P的坐标为?2??(2)设点P的坐标为(x，y，z)，→则AP＝(x－2，y＋1，z－2)．
3→1→→??∵AP＝2(AB－AC)＝?3，2，－2?，??
x－2＝3，??3y＋1＝∴?2，??z－2＝－2.
1即x＝5，y＝2，z＝0，1??则点P的坐标为?5，2，0?．
??
空间中点的坐标确定及应用
【例2】
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD1的中点，G在棱CD上，且CG＝4CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度．
[解]
建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，1??故其坐标为?0，0，2?．
??1由F作FM⊥AD于M点、FN⊥DC于N点，由平面几何知FM＝2，FN＝12，?11?则F点坐标为?2，2，0?．
??3?3?点G在y轴上，其x、z坐标均为0，又GD＝4，故G点坐标为?0，4，0?．
??11由H作HK⊥CG于K点，由于H为C1G的中点，故HK＝2，CK＝8．
71?7?∴DK＝8，故H点坐标为?0，8，2?．
??
GH＝错误!＝错误!．
1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．
3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤：
[跟进训练]
2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度．
[解]
如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，∵N为CD1的中点，?3?∴N?2，3，1?．
??∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点，∴M(1,1,2)．由两点间距离公式，得
MN＝错误!＝错误!．
空间向量的平行与垂直
[探究问题]
1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？
[提示]
(1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的．
(2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直．
2．空间中三点共线的充要条件是什么？
[提示]
三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件x2－x1y2－y1z2－z1是＝＝．
x3－x1y3－y1z3－z1简证：三个点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)共线的充要条件为x2－x1y2－y1→→→→AB＝λAC，即向量AB与向量AC共线，其坐标对应成比例，从而有＝x3－x1y3－y1z2－z1＝．
z3－z1→【例3】
已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b→＝AC．
→(1)若|c|＝3，c∥BC．求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．
[思路探究]
先求a，b，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解．
→→[解]
(1)因为BC＝(－2，－1,2)，且c∥BC，→所以设c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝?－2λ?2＋?－λ?2＋?2λ?2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1．即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
→→(2)因为a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0．
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
5＝2k2＋k－10＝0．解得k＝2或k＝－2．
5故所求k的值为2或－2．
→1．(变条件)若将本例(1)中“c∥BC”改为“c⊥a且c⊥b”，求c．
→→[解]
a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)．
设c＝(x，y，z)．
?由题意得?x＋y＝0，?－x＋2z＝0x2＋y2＋z2＝9，解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，即c＝(2，－2,1)或c＝(－2,2，－1)．
2．(变条件)若将本例(2)改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”求k的值．
→→[解]
∵a＝AB＝(1,1,0)，b＝AC＝(－1,0,2)．
所以ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)．
∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，即(k＋1，k，－2)·(k－2，k,4)＝(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝
52．
5故所求k的值为－2或2．
解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)当有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
【例4】
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别1是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝4CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
[思路探究]
根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．
[解]
(1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，1?3???11??易知E?0，0，2?，F?2，2，0?，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G?0，4，0?，??????71??H?0，8，2?．
??
1??111?→?11??∵EF＝?2，2，0?－?0，0，2?＝?2，2，－2?，??????→B1C＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，1→→1?1?∴EF·B1C＝2×(－1)＋2×0＋?－2?×(－1)＝0，??→→∴EF⊥B1C，即EF⊥B1C．
3?→?(2)由(1)易知C1G＝?0，4，0?－(0,1,1)
??1??＝?0，－4，－1?，??1?→?11EF＝?2，2，－2?，??17→3→∴|C1G|＝4，|EF|＝2，1?1??1?3→→1EF·C1G＝2×0＋2×?－4?＋?－2?×(－1)＝8，????→→EF·C1G51→→∴cos〈EF，C1G〉＝＝17，→→|EF||C1G|51即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为17．
71??11??(3)由(1)知F?2，2，0?，H?0，8，2?，????→?131?∴FH＝?－2，8，2?，??．
41即FH的长为8．
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写出点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
提醒：建立适当的坐标系能给解题带来方便.
[跟进训练]
3．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
→→(2)求BA1与CB1夹角的余弦值．
→→→[解]
如图，以CA，CB，CC1为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，→∴|BN|＝
?1－0?2＋?0－1?2＋?1－0?2＝3，∴线段BN的长为3．
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)，→→∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，→→∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3．
→→又|BA1|＝6，|CB1|＝5，→→BA1·CB130→→∴cos〈BA1，CB1〉＝＝10，→→|BA1||CB1|30→→即BA1与CB1夹角的余弦值为10．
1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量的模以及两个向量的夹角．
2．几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则3a＋b为()
A．(－2，－3，－2)
C．(－2,3,2)
B．(2,3,2)
D．(4,3,2)
B
[3a＋b＝3(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(3,3,0)＋(－1,0,2)＝(2,3,2)．]
2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是()
A．(－1,3，－5)
C．(1，－3,5)
B．(1,3,5)
D．(－1，－3,5)
B
[P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．]
?632?3．点P?，，?到原点O的距离是()
32??630A．633C．6B
[PO＝错误!＝1．]
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．
75[由于ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，B．135D．62a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因为两向量互相垂直，则有(k－1)×37＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝5．]
→→5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．
→→120°
[由于AB＝(－2，－1,3)，CA＝(－1,3，－2)，→→→→所以AB
·CA＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB
|＝14，|CA
|＝14，→→所以cosθ＝cos〈AB，CA〉＝则θ＝120°．]
－71＝－2，14×141.2空间向量在立体几何中的应用
1.2.1空间中的点、直线与空间向量
学
习
目
标
1．了解空间中的点与空间向量的关系．
2．理解直线的方向向量．(重点)
3．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法．(重点、难点)
4．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．(重点)
5．理解公垂线段的概念并会求其长度．
在如图所示的正方体中，怎样借助空间向量来描述A、B、C、D在空间中是1．通过学习直线的方向向量，公垂线段等概念，培养数学抽象素养．
2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算的素养．
核
心
素
养
不同的点？如何借助空间向量来描述直线AD与A1D1，AD与BB1以及AD与AA1的位置关系？怎样借助空间向量来求BC1与BD1所成的角？
1．空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以→→由向量OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的位置向量．
提醒：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
2．空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l．
→(1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝AB，即为直线l的一个方向向量．
思考1：直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？
[提示]
直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行．
思考2：空间中的直线l的位置由v能确定吗？
[提示]
空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定．
(2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2?l1∥l2或l1与l2重合．
3．空间中两条直线所成的角
(1)设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sinθ＝sin〈v1，v2〉，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|．
π(2)〈v1，v2〉＝2?l1⊥l2?v1·v2＝0．
4．异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面．
提醒：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
→→(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，AB不共面．若v1，v2，AB不共面，则l1与l2异面．
→提醒：“v1，v2，AB不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l的方向向量是唯一的．
()
(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
()
(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．
[答案]
(1)×
(2)√
(3)×
[提示]
(1)×
与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量．
(2)√
(3)×
k≠0．
2．(教材P36练习A①改编)设A(2,2,3)，B(4,0,1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()
A．(1,2,5)
C．(1，－1，－1)
B．(3，－2，－2)
D．(－1,1，－1)
()
→C
[AB＝(4,0,1)－(2,2,3)＝(2，－2，－2)＝2(1，－1，－1)，故选C．]
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异
面直线l1与l2的夹角的余弦值等于()
2A．－525C．－52B．525D．5B
[∵|a|＝5，|b|＝25，a·b＝(0，－2，－1)·(2,0,4)＝－4，∴cos〈a，b〉＝－42＝－5．
5×25π??∵异面直线夹角的范围是?0，2?，∴选B．]
??4．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3,0,2)，v2＝(1,0，m)，若l1∥l2，则m等于________．
23[因为l1∥l2，所以存在实数λ，使v1＝λv2．
?λ＝3，2即(3,0,2)＝λ(1,0，m)，∴?∴m＝3．]
?λm＝2.
空间中点的位置确定
【例1】
已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)．
→1→→(1)若OP＝2(AB－AC)，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
→→[思路探究]
(1)由条件先求出AB，AC的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．
(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．
→→[解]
(1)AB＝(－1,1,5)，AC＝(－3，－1,5)，→1→→1OP＝2(AB－AC)＝2(2,2,0)＝(1,1,0)，∴P点的坐标为(1,1,0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，→1→知AP＝2PB．
设点P的坐标为(x，y，z)，→→则AP＝(x－3，y－4，z)，PB＝(2－x,5－y,5－z)，1故(x－3，y－4，z)＝2(2－x,5－y,5－z)，??1即?y－4＝2?5－y?，1?z＝?2?5－z?，1x－3＝2?2－x?，??13得?y＝3，5?z＝?3.8x＝3，?8135?因此P点的坐标为?3，3，3?．
??
此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可.
[跟进训练]
→1．已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以AB的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1．
求点P和点Q的坐标．
→→[解]
由已知，得PB＝2AP，→→→→即OB－OP＝2(OP－OA)，→2→1→OP＝3OA＋3OB．
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得
21(x，y，z)＝3(2,4,0)＋3(1,3,3)，4158311即x＝3＋3＝3，y＝3＋3＝3，z＝0＋1＝1．
?511?因此，P点的坐标是?3，3，1?．
??因为AQ∶QB＝2∶1，→→→→→→→→→所以AQ＝－2QB，OQ－OA＝－2(OB－OQ)，OQ＝－OA＋2OB，设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6．
因此，Q点的坐标是(0,2,6)．
?511?综上，P点的坐标是?3，3，1?，Q点的坐标是(0,2,6)．
??利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)
【例2】
(1)若向量a＝(x,4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为26，则x＝()
A．3B．－3C．－11D．3或－11A
[∵a·b＝x－8＋10＝x＋2，|a|＝x2＋41，|b|＝1＋4＋4＝3．
x＋22a·b∴6＝cos〈a，b〉＝|a||b|＝．
3x2＋41则x＋2＞0，即x＞－2，则方程整理得x2＋8x－33＝0，解得x＝－11或x＝3．
x＝－11舍去，∴x＝3．]
?31?(2)如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为?，，0?，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
①求向量CD→的坐标；
②求AD→与BC→的夹角的余弦值．
[解]
①如图过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD·sin30°＝32，OE＝OB－BDcos60°＝1－112＝2，∴D的坐标为???0，－12，3?2??，又∵C(0,1,0)，∴CD→＝???0，－33?2，2??．
②依题设有A点坐标为
??3?2，12，0???，∴AD→＝???－32，－1，3?→2??，BC＝(0,2,0)，则AD→与BC→的夹角的余弦值：
?22?
→→AD·BC10→→cos〈AD，BC〉＝＝－5．
→→|AD|·|BC|
利用向量求异面直线所成角的步骤
(1)确定空间两条直线的方向向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
π??提醒：两异面直线夹角范围为?0，2?，时刻注意两异面直线夹角的范围是解??题的关键．
[跟进训练]
2．侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1＝2，点O，M分别是BC，A1C1的中点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)写出三棱柱各顶点及点M的坐标；
(2)求异面直线CM与BA1夹角的余弦值．
[解]
(1)根据图形可求得下列点的坐标：
A(3，0,0)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A1(3，0,2)，B1(0，－1,2)，C1(0,1,2)，?31?M?，，2?．
?22?1?→→?3(2)CM＝?，－，2?，BA1＝(3，1,2)，2??2→→→→∴CM·BA1＝5，|CM|＝5，|BA1|＝22，510→→∴cos〈CM，BA1〉＝＝4．
21利用空间向量处理平行问题
[探究问题]
1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？
[提示]
(1)非零性：直线的方向向量是非零向量．
(2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．
(3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
2．两条平行直线的方向向量有什么关系？
[提示]
设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m?a∥b?a＝λb．
【例3】
(1)已知向量a＝(2,4,10)，b＝(3，x,15)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________．
(2)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE．
(1)6[∵l1∥l2，∴存在实数k使得b＝ka，?3＝2k，∴?x＝4k，?15＝10k，解得x＝6．]
(2)[证明]
如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)．
→→→所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)，因为DA?平面ADE，AE?平面ADE，且(0,2,1)＝0×(2,0,0)＋1×(0,2,1)，→→→即FC1＝0×DA＋1×AE，所以有FC1?平面ADE或FC1∥平面ADE，又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE．
1．(变问法)本例3(2)中G，H分别为AD，B1C1的中点，求证：EGFH为平行四边形．
[证明]
如图所示，建立空间直角坐标系．
则E(2,2,1)，G(1,0,0)，F(0,0,1)，H(1,2,2)．
→→所以EG＝(－1，－2，－1)，FH＝(1,2,1)．
→→→→所以FH＝－EG，所以FH∥EG．
显然EG与FH不重合，故EG∥FH．
→又|EG|＝?－1?2＋?－2?2＋?－1?2＝6，→|FH|＝12＋22＋12＝6，∴EG＝FH，∴四边形EGFH为平行四边形．
2．(变问法)本例3(2)条件不变，改为求平面ADE∥平面B1C1F．
[证明]
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，D(0，0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，→→得DE＝(2,2,1)，FB1＝(2,2,1)，→→DA＝(2,0,0)，B1C1＝(－2,0,0)，→→→→所以DE＝FB1，DA＝－B1C1，又相互不共面，所以DE∥FB1，DA∥B1C1，又DA∩DE＝D，FB1∩B1C1＝B1，所以平面ADE∥平面B1C1F．
1．证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．
2．用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．
3．利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．
提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
1．空间中的点与直线可以利用空间坐标与直线的方向向量来研究，更进一步研究空间几何中的平行、垂直关系．
2．在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题．
3．利用空间坐标系可以研究异面直线问题，如异面直线所成的角、异面直线的距离等．
1．若A(1,0,1)，B(2,3,4)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()
A．(－1,3,3)
C．(3,3,5)
B．(1,3,3)
D．(2,4,6)
→B
[AB＝(2,3,4)－(1,0,1)＝(1,3,3)．]
2．向量a＝(x,1，－2)，b＝(3，x,4)，a⊥b，则x＝()
A．B．4C．2D．C
[∵向量a＝(x,1，－2)，b＝(3，x,4)，a⊥b，∴a·b＝3x＋x－8＝0，解得x＝2．故选C．]
3．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2(－2,0，－1)，则直线l1与l2的位置关系为________．
垂直
[∵v1·v2＝－1×(－2)＋1×0＋2×(－1)＝0，∴v1⊥v2．]
4．已知向量a＝(1,0，－1)，向量b＝(2，0,0)，则〈a，b〉＝________．
45°
[∵a·b＝2×1＋0×0＋(－1)×0＝2，|a|＝2，|b|＝2，a·b2∴cos〈a，b〉＝|a|·|b|＝2．
又0≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°．]
5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成角的余弦值．
[解]
以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
→设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0，2,2)，∴AN＝(－1,0，－2)，→→BM＝(1，－1，－2)，|AN|＝?－1?2＋02＋?－2?2＝5，→|BM|＝12＋?－1?2＋?－2?2＝6，→→－1＋4AN·BM330→→∴cos〈AN，BM〉＝＝＝＝10．
→→5×630|AN|·|BM|
篇三：|a|e等于什么
cosa等于什么公式
cosa是三角函数公式。在任意一个三角形中，都满足以下条件：cosA=(b2c2-a2)/(2bc)=±√(1-sin2A)。余弦定理，欧氏平面几何学基本定理。余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
扩展资料
判定定理一
两根判别法
若记m（c1,c2）为c的两值为正根的`个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值。
①若m（c1,c2）=2,则有两解；
②若m（c1,c2）=1,则有一解；
③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。
注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。
篇四：|a|e等于什么
第四讲
字母竖式
竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母．
一、尾数分析
①×2、×4、×6、×8（有两个答案），如：□×__2=__4，□有2、7两个答案；
②×1、×3、×7、×9（有一个答案），如：□×__3=__8，□只有6一个答案；
③×5，偶数→0、奇数→5；
④×0，乘积个位为0；
⑤__A×__A=__A，A可能为：0、1、5、6．
二、首位分析→位数分析→估算，如：
ABA=1、2或3．
①A×
②AB
ABA=1，B=2．
8×
9×
三、进、借位分析，如：
①A
B
C?
A=1，B=0，C=0，?
DE?
A
B?
C?
A=1，B=0，C=9．
B?
没有借位，B=0；
B?
－
B?
一般来说，在包含字母（或汉字）的竖式中，不同的字母（或汉字）代表不同的数字，相同的字母（或汉字）代表相同的数字．
在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口．尤其是相同数位上重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用．
例题1在下图的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？
+
兵
炮
马
卒
兵
炮
车
卒
「分析」观察首位，“车”是加出来的呢？末位三个数
字都是“卒”，那“卒”又是多少呢？
练习1车
卒
马
兵
卒
在下图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．其中“G”代表5，“D”代表0，“H”代表6．请问：“I”代表的数字是多少？
+
AABFICDEGDH
例题2在下图的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字．那么每个汉字各代表什么数字？
「分析」观察百位，相同的数字差为0，那么“马”可以是0吗？究竟是怎么回事呢？
练习2-
炮
兵
兵
炮
兵
马
兵
马
兵
马
下面竖式中，每个字母代表一个数字．a?______，s?______，t?______，v?______．
例题3tt-
v
svttstttva在图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已知个位向十位的进位为2，且E是奇数，则A、B、C、D、E分别代表什么数字？
「分析」题目给的条件“进位为2、E是奇数”是解决本题的关键哦！
练习3+
A
CDDEEBCBCAAAE在右图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？
+
喜
欢
欢
喜
喜
欢
人
人
喜
一般来说，乘法竖式比加减法竖式要难一些．乘法竖式中不仅有第一个乘数与第二个乘数每一位数字的乘法，还有计算这些乘积之和的加法．
例题4在右下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDEF所代表的六位数是多少？
「分析」观察个位，ABC?C?DEAC、ABC?D?7ED，你能判断出C是多少吗？
练习4?
D7FA
EEDBDADBCCC
C
ABAB
在下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDE所代表的五位数是多少？
CABBDEAB在竖式问题中，还有一类特殊的、类似于应用题的文字题．在这类题目中并没有明确给出竖式，而是要大家根据题目条件写出正确的竖式来．这就好比是“翻译”，我们要把“文字”翻译成“数学语言”，然后再推理计算．
例题5（1）一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？
（2）一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少？
「分析」在第（1）问中，我们可以把问题转化为竖式来考虑．
…
44?
…
在第（2）问中，我们可以假设原来的五位数是abcde，再列出竖式分析．
例题6下图中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来．
「分析」本题已知条件大都集中在个位，观
×
江
峡
峡
峡
美
江
美
江
美
察“江峡美?美?“江峡美?江?“江峡美?峡?、美”、江”，你能判断出“美”峡”是多少吗？“江”和“峡”又有什么特点呢？
课堂内外
结绳记数
结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来．宋朝人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火．”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法．中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起．有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳．看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话．传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天．为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣．他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了．”
回头我们再来看一件有趣的事情．在我国古代的甲骨文中，数学的“数”，它的右边表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：――“数”者，图结绳而记之也．所以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，连招牌都不用挂了．
作业
1.
在下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问：我爱数学表示的四位数是多少？
+
学
数
学
爱
数
学
我
爱
数
学
19922.
在左下图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．如果C是一个偶数，请问三位数ABC是多少？
AAA
CA
+
CA
CBA
3.
在下面的减法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：六位数ABCDEF是多少？
ABCBAEFAD
FFF
-
4.
下图的竖式中，每一个英文字母代表0，1，2，…，9中的一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请问字母F代表数字几？
AQTQ×
TAQAQ
FRQ
5.
一个六位数的个位数字是7，将这个7移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的5倍，请问：原六位数是多少？
第四讲
字母竖式
1.
例题1答案：算式为5240?5210?1045详解：
首位分析可以得出“车”代表数字1．
分析个位卒?卒?卒，因此“卒”只能是0．
接下来分析千位，兵?兵?卒（卒=0），得“兵”为5，并且百位没有向千位进位．
分析十位“车?马?兵”（车=1、兵=5），得“马”为4．
最后很容易得到“炮”为2．
所以原算式为5240?5210?10450．
2.
例题2答案：算式为1221?292?92详解：
首位分析得“炮”为1．
分析百位“兵?兵?马”，如果十位计算时没有向百位借位，则百位计算时就不需要向千位借位，这样被减数中的“炮”（炮=1）就不能被减掉，与题目矛盾，因此十位在计算时向百位进行了借位运算，这样我们得到“马”为9．
依次分析个位和十位，得到“兵”为2．
最后的算式为1221?292?929．
3.
例题3答案：A=7，B=9，C=8，D=4，E=1详解：
个位“A?A?A?__E”，已知个位向十位的进位为2，则A只可能为7、8、9，又因为E为奇数，所以8被排除掉；如果A为9，则千位进位后总和应该为一个五位数，与题意不符，因此A为7，E为1．
再分析十位，“B?C?B?2?__C”，可得B可能是4或9．
分析百位“D?D?1?进位?1”，可以发现进位必须是2才可以满足奇偶性要求，所以确定B一定是9．则D为4，百位向千位进1，C为8．
最后的算式为7497?487?197?8181．
4.
例题4答案：35621详解：
D?7?F没有进位说明D只能为1或2，而由ABC?D?7ED说明D不可能为1，所以D为2，F为9．
分析E?E?进位?D，其中进位为0或1，奇偶性可知进位为0，所以E为1．
ABC?C?DEAC，得到C可能为0，1，5，6．其中0，1明显不可能．
而C?D?__D，因此，C不可能是5．
C为6时有满足题意的解A=3，B=5．
因此所能代表的六位数为356219．
5.
例题5答案：（1）102564；（2）21978详解：
（1）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑．从个位向前逐次填出，直到乘积的首位出现4?
…
×
4?
…
最后得到原数为102564．
（2）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑：
AB
C
D
E
×
E
D
C
B
A
末位分析，A为偶数，再通过首位分析可得，A只能是2，进而可得E只能是8．
个位向十位进3，所以B一定是奇数，而千位没有向万位进位，可得B只能是1．
所以十位“D?4”乘积个位是8，再结合千位，可得D=7．
进而很容易可得C=9．
6.
例题6答案：286?826?23636详解：“江峡美?美?，末尾判断，“美”只能是0、1、5、6中的一个．很容易排美”，江”，峡”除0和1；而“美?江?__江、美?峡?__峡”，因此“美”只能为6，“江峡美?江?首位判断，“江”最大是3，末位判断，“江”一定是偶数，因此江=2；而“2峡6?峡?可知“峡”至少是5，并且“峡”是一个偶数，因此峡=8．竖式为286?826?23636．
7.
练习1答案：3详解：分析首位，G为5，所以C为4，则百位向千位进1；再分析百位，D为0，所以A一定为9，且十位向百位进1；接下来分析十位，A为9，H为6，且向百位有进位，所以E一定是7（注意E和H不能代表相同数字，所以E不能为6），个位向十位没有进位；此时，还有数字1、2、3、8没有用过，所以个位可能是1?2?3或者2?1?3，即I为3．
8.
练习2答案：a=0，s=8，t=1，v=3详解：分析首位，t为1；分析个位，得a为0；观察竖式，可知十位相减会向百位借1，再分析百位，可得v为3，因此s为8，所以算是为11311?3181?8130．
9.
练习3答案：85简答：分析个位，可得“欢”为0或5，而“欢”作为十位数字，所以只能为5，且个位向十位进1；再分析十位，“喜?5?喜?1?人人”，尝试可得“喜”为8，“人”为2．
10.
练习4答案：25106简答：AB?B?CAB，末尾分析可得B可能为0、1、5、6，排除0和1，尝试可得B只能是5，为25?5?125，进而可得整个乘法算式为25?25?625．
11.
作业1答案：1264简答：三个“学”之和的个位数字是2，所以“学”等于4；所以个位向十位进1，三个“数”之和的个位数字就是8，十位向百位进1，所以“数”等于6；因此，两个“爱”之和的个位数字为4，因为和的千位为1，所以百位到千位没有进位，所以“我”等于1，“爱”等于2．
12.
作业2答案：586简答：从个位得到A是5，从百位得到C是6，从十位计算出B是8．
13.
作业3答案：107398简答：一个五位数减去一个四位数，差为三位数，所以可得A等于1，B等于0，E等于9；个位1减D，必然要借位，所以十位相减，差得8，所以F等于8，C等于7，D等于3；所以这个六位数是107398．
14.
作业4答案：3简答：AQ乘T仍然得AQ，所以T等于1；两个Q相乘，乘积个位仍然是Q，所以Q可能是0，1，5或者6，因为Q乘AQ得一个百位是1的三位数，所以Q只可能是5或6，而且A只可能
是2或者3．分别计算，可得只有25×15符合条件，所以F等于3．
15.
作业5答案：142857简答：列出竖式，把问题转化为竖式来考虑．从个位向前逐次填出：
5×
7?
最后得到原六位数为142857．
篇五：|a|e等于什么
篇六：|a|e等于什么
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
新版北师大版数学七年级下册第五章达标测试卷（1）
时间：120分钟
满分：120分
题号
一
得分
二
三
四
五
六
总分
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分，每小题只有一个正确选项)1．瑞昌剪纸是一门古老的传统民间艺术，选材十分广泛，山川树木、花鸟虫鱼、劳动生活场景应有尽有．下列四副瑞昌剪纸中，是轴对称图形的是()
2．已知等腰三角形顶角的度数为120°，那么它的底角为()A．120°B．30°C．60°D．90°
3．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是()A．AC＝A′C′B．BO＝B′OC．AA′⊥MND．AB∥B′C′
第3题图
第4题图
4．在7×9的网格中，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB两边距离相等的点应是()A．M点B．N点C．P点D．Q点
5．如图，在△ABE中，∠BAE＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝CE，则∠B的度数是()A．45°B．60°C．50°D．55°
第5题图
第6题图
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
6．如图，AD是△ABC的角平分线，AB＝AC，DE⊥AC于点E，BF∥AC交ED的延长线于点F，AE＝2EC，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF.其中正确的结论为()A．①②③B．①③④C．②③D．①②③④
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)7．在“等腰三角形、正方形、圆”中，只有一条对称轴的图形是____________．
8．如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________°.
9．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，AE＝6cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为________cm.
第9题图
第10题图
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则OD的长度为________cm.11．如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝________°.
12．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，满分30分)13．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半，并说明图形是什么形状．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，求∠BAD的度数．
15．如图，在长方形ABCD中，将△ADE沿着AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．如果∠BAF＝60°，求∠DAE的度数．
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE垂直平分AB交AB于D.试说明：BE＋DE＝AC.
17．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且C是线段AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图：
(1)作BC的中点P；
(2)过点C作AD的垂线．
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且BD＝BE，求∠ADE的度数．
19．解答下面2个小题：
(1)已知等腰三角形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数；
(2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边长．
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
20．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝12cm，AC＝8cm，求DE的长．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O.△ADE的周长为6cm.(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
22．如图①，定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB＋∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫作互补等对边四边形．如图②，在等腰△ABE中，AE＝BE，四边形ABCD是互补等1对边四边形．试说明：∠ABD＝∠BAC＝∠E.2七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
六、(本大题共12分)23．(1)如图，△ABC为等边三角形，M是BC上任意一点，N是CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM交于点Q，猜测∠BQM的度数，并做出合理的解释；
(2)若点M是BC延长线上任意一点，点N是CA延长线上任意一点，且BM＝CN，BN与AM的延长线交于点Q，(1)中结论还成立吗？画出相应图形，说明理由．
七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
新版北师大版数学七年级下册第五章达标测试卷（1）
参考答案
1．D2.B3.D4.A5.C6．D解析：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确．∵BF∥AC，?∠C＝∠CBF，∴∠C＝∠CBF.在△CDE与△BDF中，?CD＝BD，∴△CDE≌△BDF，∴DE＝DF，CE＝BF，?∠EDC＝∠FDB，故①正确．∵AE＝2EC，∴AC＝3EC＝3BF.∵AB＝AC，∴AB＝3BF，故④正确．故选D.7．等腰三角形
8.759.3810.211．360解析：连接AP，BP，CP.∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点，∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°.
12．40°或25°或10°
解析：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD，可以分以下3种情况进行分类讨论．(1)AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－11∠ADB＝180°－80°＝100°，∠C＝(180°－100°)＝40°；(2)AB＝AD，此时∠ADB＝221(180°－∠A)＝(180°－80°)＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝180°－50°＝130°，∠C21＝(180°－130°)＝25°；(3)AD＝BD，此时∠ADB＝180°－2×80°＝20°，∴∠BDC＝180°21－∠ADB＝180°－20°＝160°，∠C＝(180°－160°)＝10°.综上所述，∠C的度数可以2为40°或25°或10°.
13．解：图略．(4分)图①为五角星，图②为一棵树．(6分)114．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，(4分)∴∠BAD＝∠BAC＝54°.(6分)215．解：由折叠可知，△ADE与△AFE关于AE成轴对称，则∠DAE＝∠FAE.(3分)∵∠BAD1＝90°，∠BAF＝60°，∴∠FAD＝30°，∴∠DAE＝∠FAD＝15°.(6分)2七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
16．解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE.(3分)∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.∵AE＋CE＝AC，∴BE＋DE＝AC.(6分)17解：(1)如图①所示，点P即为所求．(3分)(2)如图②所示，CQ即为所求．(6分)
1118．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝×(180°－120°)2211＝30°.(3分)∵BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝(180°－∠B)＝×(180°－30°)＝75°.(522分)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝90°－75°＝15°.(8分)19．解：(1)设等腰三角形的顶角为x°，则底角为2x°，由题意得x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，∴2x＝72，∴这个三角形三个内角的度数分别为36°，72°，72°.(4分)(2)∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，∴当5为底边长时，其他两边长都为3.5，5，3.5，3.5可以构成三角形；(6分)当5为腰长时，其他两边长分别为5和2，5，5，2可以构成三角形．(7分)∴另外两边长分别是3.5，3.5或5，2.(8分)20．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2分)∵△ABC的面积是30cm2，AB＝12cm，AC＝8cm，∴AB·DE＋AC·DF＝30cm2，∴×12DE＋×8DF＝30cm2，(6分)∴DE＝3cm.(8分)21．解：(1)∵l1，l2分别是线段AB，AC的垂直平分线，∴AD＝BD，AE＝CE，∴AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC.(3分)∵△ADE的周长为6cm，即AD＋DE＋AE＝6cm，∴BC＝6cm.(4分)(2)∵AB边的垂直平分线l1与AC边的垂直平分线l2交于点O，∴OA＝OB＝OC.(6分)∵△OBC的周长为16cm，即OC＋OB＋BC＝16cm，∴OC＋OB＝16－6＝10(cm)，∴OC＝5cm，∴OA＝5cm.(9分)22．解：∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA.∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC.(2分)12121212七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
在△ABD与△BAC?AD＝BC，中，?∠DAB＝∠CBA，∴△ABD≌△BAC，(4?AB＝BA，分)∴∠ABD＝∠BAC，∠ADB＝∠BCA.∵∠ADB＋∠BCA＝180°，∴∠ADB＝∠BCA＝90°.(6分)在等腰△ABE中，∵∠EAB＝1?111?∠EBA＝(180°－∠E)＝90°－∠E，∴∠ABD＝90°－∠EAB＝90°－?90°－∠E?＝∠E，2?222?1∴∠ABD＝∠BAC＝∠E.(9分)223．解：(1)∠BQM＝60°.(1分)理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°.又∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN.(3分)∵∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝60°，∴∠BAM＋∠ABN＝60°，∴∠AQB＝120°，∴∠BQM＝60°.(5分)(2)成立，所画图形如图所示．(7分)理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°.又∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠BAM＝∠NBC.(9分)∵∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠NBA＝∠CAM.而∠CAM＋∠QAB＝180°－∠BAC＝120°，∴∠NBA＋∠QAB＝120°.∴∠BQM＝180°－(∠NBA＋∠QAB)＝60°.(12分)
11七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
新版北师大版数学七年级下册第五章达标测试卷（2）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.如图是小华的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为
（）
2.下列图形中，△A＇B＇C＇与△ABC关于直线MN成轴对称的是（）
3.如果一个三角形的两边长为2和5，则第三边长可能是（）
A．2B．3C．5D．4.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3：4：5,则∠C等于（）
A.45°B.60°C．75°D．90°
3.
如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA,OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是()A.
PC⊥OA,PD⊥OBB.OC=ODC.∠OPC=∠OPDD.PC=PD
4.下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）
12七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为（）
A.30°B.45°C.50°D.75°
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=20°,若将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
点处，则∠ADE的度数是（）
A.30°B.40°C.50°D.55°
7.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A等于（）
A.30°B.36°C.45°D.54°
8.如图，在3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使三个圆为轴对称图形，方法有（）
A.2种B.3种C.4种D.5种
二、填空题（每小题4分，共32分）
9.现有以下四种说法：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②平面上两个全等的图形一定关于某条直线对称；③两个对称图形对称点连线的垂直平分线就是它们的对称轴；④线段和角都是轴对称图形.其中错误的是.（填写序号即可）
10.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上，且BD=DE,则∠BDE=11.如图，P是∠AOB内一点，P1，P2分别是点P关于OA,OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若
P1P2=5cm,则△PMN的周长是.
13七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
12.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点C在半圆圆心上，点B在半圆上，则∠A的度数约为.13.如图，在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC⊥于点F，AB=10cm,AC=8cm,△ABC的面积为45cm2,则DE的长度为cm.14.
如图，在梯形ABCD中，AD∥⊥BC,将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A＇处，若
∠A＇BC=15°,则∠A＇BD的度数为.
第15题图
第14题图
第16题图
15.
如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60，其三条角平分线交于点O，则
S△ABO:S△BCO:S△CAO=.16.
将一个等腰三角形（底角大于60°）
沿对称轴对折后，剪掉一个60°的角，展开后得到如图所示的形状，若∠ABD=15°，则∠A=.二、解答题(共64分）
14七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
17.(10分)秋天红透的枫叶，总能勾起人们无尽的遐想，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花.”下图中有半片枫叶，请以直线L为对称轴补画出枫叶的另一半.
18.(10分)如图，∠ABC=60°,AD垂直平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，求∠AEC的度数.
19.(10分)如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠
15七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
BMD+∠BND=180°
试说明：DM=DN
20.
(14分)如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F.试说明：
（1）∠CAE=∠CBF（2）AE=BF
16七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
21.
（20分）如图1，在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∠A=40°.（1）求△NMB的大小.（2）如图2，如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.（3）根据（1）、（2）的计算，你能发现其中蕴含的规律吗？请说明理由.（4）如图3，将（1）中∠A改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要修改？请你代入一个钝角度数验证你的结论.
1七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
新版北师大版数学七年级下册第五章达标测试卷（2）
参考答案
1七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
1七年级数学下册第五单元测试卷（2套）
20
篇七：|a|e等于什么
《匀变速直线运动的速度与时间的关系》知识点归纳
物体做变速运动的v－t图象，v－t图象是一条倾斜的直线，物体的加速度有什么特点？倾斜直线所表示的速度随时间变化的关系怎样用公式来描述？
要点一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
2．图象：v－t图象说明凡图象是倾斜直线的运动一定是匀变速直线运动，反之也成立，即匀变速直线运动的v－t图象一定是一条倾斜的直线．
3．匀变速直线运动包括两种情形：
a与v同向，匀加速直线运动，速度增加；
a与v反向，匀减速直线运动，速度减小．
要点二、速度与时间的关系式
1．推导过程
Δv对于匀变速直线运动，其加速度是恒定的，由加速度的定义式a＝Δt可得Δv＝aΔt，从运动开始（t＝0）到时刻t，时间的变化量Δt＝t，速度变化量Δv＝v－v0，故v－v0＝at，得v＝v0＋at.2．对速度公式v＝v0＋at的理解
（1）此式叫匀变速直线运动的速度公式，它反映了匀变速直线运动的速度随时间变化的规律，式中v0是开始计时时刻的速度，v是经过时间t后的瞬时速度．
（2）速度公式中，末速度v是时间t的一次函数，其v－t图象是一条倾斜的直线，斜率即为加速度a，纵轴上的截距为初速度v0.（3）此速度公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．式中v0，v，a都是矢量．在直线运动中，当规定了正方向后，它们都可用带正、负号的代数值表示，则矢量运算转化为代数运算，通常情况下取初速度方向为正方向．对于匀加速直线运动，a取正值；对于匀减速直线运动，a取负值．计算结果若v＞0，说明v的方向与v0方向相同；若v＜0，则说明v的方向与v0方向相反．
（4）此公式中有四个物理量，知道任意三个物理量便能确定第四个物理量．
（5）从静止开始的匀加速直线运动，即v0＝0，则v＝at，速度与时间成正比．
要点三
对v－t图象的理解
1．用图象法处理问题的优点：形象直观，清晰便捷，能非常直观地反映运动物体的速度随时间变化的情况，便于从整体上认识运动的特点．
2．几种变速运动的v－t图象
（1）匀速直线运动的v－t图象平行于t轴．
（2）初速度为零的匀加速直线运动的v－t图象是一条过原点的倾斜的直线．
（3）初速度不为零的匀变速直线运动的v－t图象是一条在v轴上有截距的倾斜的直线．
（4）做变加速运动的v－t图象是一条曲线
在v－t图象中，直线的斜率等于物体的加速度，曲线上各点的斜率等于该时刻物体的加速度．
3．关于交点的理解
（1）两条图线相交，表明在该时刻两物体具有相同的速度．
（2）图线与v轴相交：表示物体的初速度．
4．速度图象与时间轴交点表示速度方向改变，折点表示加速度方向改变．
图2－2－4图2－2－5（1）如图2－2－4所示，图线为与横轴相交的直线，交点处表示该时刻物体反向运动，速度方向改变，但加速度不变，仍为匀变速直线运动．
（2）如图2－2－5所示，t0时刻图线由向上倾斜变为向下倾斜，表示物体加速度方向改变，不表示速度方向改变．
图2－2－65．如图2－2－6所示，v－t图线为曲线，表示物体做的不是匀变速运动，物体在各时刻的加速度大小不同，在相等的时间间隔内速度的变化量不相等，即速度不是均匀变化的．
【典例解析】
一、对匀变速直线运动的理解
【例1】
下列有关对匀变速直线运动的认识，其中观点正确的是（）
A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动
D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量
解析
匀变速直线运动的速度大小时刻在发生变化，在相等的时间里通过的位移一定不会相等，A错误；匀变速直线运动的加速度大小和方向都不能变化，B错误；C的说法也是错误的，正确答案为D.答案
D二、对速度公式的理解和应用
【例2】
汽车在平直路面紧急刹车时，加速度的大小是6m/s2，如果必须在2s内停下来，汽车的行驶速度最高不能超过多少？如果汽车以最高允许速度行驶，必须在
s内停下来，汽车在刹车的过程中加速度至少多大？
解析（1）由题意知a＝6m/s2，t＝2s，v＝0m/s，由v＝v0＋at得
v0＝v－at＝0m/s－（－6m/s2）×2s＝12m/s＝
km/h所以汽车的速度不能超过
km/h.（2）根据v＝v0＋at，有
a′＝v－v00m/s－12m/s＝－8m/s2t′＝s所以汽车刹车匀减速运动加速度至少为8m/s2.答案
（1）
km/h
（2）8m/s2三、v－t图象的理解及应用
图2－2－8【例3】如图2－2－8，请回答：
（1）图线①②分别表示物体做什么运动？
（2）①物体3s内速度的改变量是多少，方向与速度方向有什么关系？
（3）②物体5s内速度的改变量是多少？方向与其速度方向有何关系？
（4）①②物体的运动加速度分别为多少？方向如何？
（5）两图象的交点A的意义．
解析
分析①物体：①做匀加速直线运动，3s内速度的改变量为Δv＝9m/sΔv9m/s－0＝9m/s，方向与速度方向相同，a＝Δt＝3s＝3m/s2，方向与Δv方向相同，即a与v方向相同．分析②物体：②做匀减速直线运动，5s内速度的改变量为Δv′＝0－9m/s＝－9m/s，说明Δv与v方向相反．
Δv′－9m/sa＝Δt′＝5s＝m/s2，①物体加速度与速度方向相同，②物体加速度与速度方向相反
（5）两图象交点表示速度相同
【对点演练】
1．下列各图所示分别为四个物体在一条直线上运动的v－t图象，那么由图象可以看出，做匀变速直线运动的是（）
2．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1s末、第2s末、第3s末的瞬时速度之比是（）
A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．12∶22∶32D．1∶3∶53．下列关于匀变速直线运动的说法正确的是（）
A．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的B．做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度变化的方向总是相同的C．做匀变速直线运动的物体，它的速度变化越大，加速度越大
D．做匀变速直线运动的物体，它的速度在单位时间内变化越大，加速度越大
图2－2－94．如图2－2－9所示，对质点运动的描述正确的是（）
A．该质点做曲线运动
B．该质点做匀加速直线运动
C．该质点的加速度逐渐增大
D．该质点的加速度逐渐减小
5．如图2－2－10所示是某质点的v－t图象，则（）
图2－2－1A．前2s物体做匀加速运动，后3s物体做匀减速运动
B．2s～5s内物体静止
C．前2s和后3s内速度的增量均为5m/s5D．前2s的加速度是
m/s2，后3s的加速度是－3m/s26．做匀变速直线运动的物体，在某时刻的速度为5m/s，而其加速度为－3m/s2，这表示（）
A．物体的加速度方向一定与速度方向相同，而速度在减小
B．物体的加速度方向可能与速度方向相同，而速度在增大
C．物体的加速度方向一定与速度方向相反，而速度在增大
D．物体的加速度方向一定与速度方向相反，而速度在减小
7．以72km/h的速度在平直公路上行驶的汽车，遇紧急情况而急刹车获得大小为4m/s2的加速度，则刹车6s后汽车的速度为（）
A．44m/s
B．24m/s
C．4m/s
D．08．一个做直线运动的物体，其速度随时间的变化关系为v＝（12－5t）
m/s，则其初速度为________m/s，加速度为________m/s2，3s末的速度为________m/s.9．质点从静止开始做匀加速直线运动，经4s后速度达到20m/s，然后匀速运动了10s，接着经4s匀减速运动后静止．求
（1）质点在加速运动阶段的加速度是多大？
（2）质点在16s末的速度为多大？
参考答案
1．答案
BC解析
v-t图象的斜率表示物体的加速度，A中图象平行于时间轴，斜率为零，加速度为零，所以做匀速直线运动．B中图象斜率不变，加速度不变，是匀变速直线运动，且由图象可看出，物体的速度随时间减小，所以是做匀减速直线运动．C中图象斜率不变，加速度不变，做匀加速直线运动．D中图象的切线斜率越来越大，表示物体做变加速运动．
2．答案
B3．答案
BD解析
匀加速直线运动的速度方向和加速度方向相同，而匀减速直线运动的速度方向和加速度方向相反；加速度表示速度变化的快慢，速度变化越快，加速度就越大．
4．答案
D解析
v－t图象中图线的斜率表示加速度，题中图线的斜率逐渐减小，故加速度逐渐减小，D正确．
5．答案
AD5－0解析
前2s物体做匀加速运动，加速度a1＝2m/s2＝
m/s2,2s～5s内0－5物体做匀速运动，v＝5m/s，后3s物体做匀减速运动，加速度a2＝3m/s25＝－3m/s2，速度的变化量前2s和后3s分别为5m/s和－5m/s.故A、D正确，B、C错误．
6．答案
D解析
此时速度为正，加速度为负，其正、负号表示方向，表明物体加速度与速度的方向相反，由v＝v0＋at可知，物体的速度在减小，故只有D正确．
7．答案
D解析
取初速度方向为正方向，则v0＝20m/s，a＝－4m/s2，设刹车经t0v020时间而停止运动，由0＝v0＋at0得t0＝－a＝－
s＝5s，故在t＝t0＝5s末－4汽车速度为零，而后汽车静止，故在刹车6s后汽车速度为零．
8．答案
12－5－3解析
将v＝（12－5t）
m/s与方程v＝v0＋at对比知，物体做匀变速直线运动，且v0＝12m/s，a＝－5m/s2,3s末的速度v＝（12－5×3）
m/s＝－3m/s.9．答案
（1）5m/s2（2）10m/s.解析
（1）设加速阶段的加速度为a1，则v1＝a1t1v120a1＝t1＝4m/s2＝5m/s2（2）设减速运动阶段的加速度为a2，由v2＝v1＋a2t2其中v2＝0，v1＝20m/s所以a2＝v2－v10－20t2＝4m/s2＝－5m/s2当t＝16s时，质点已减速运动了t3＝2s，此时质点的速度为v3＝v1＋a2t3＝20m/s－5×2m/s＝10m/s
篇八：|a|e等于什么
一、解答题
1．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E的坐标；
（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t=
秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；
③当点P运动到CD上时，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，试问x，y，z之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由．
2．如图，直线PQ//MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若?1与?2都是锐角，请写出?C与?1，?2之间的数量关系并说明理由；
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA
与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有?BDF??GDF，求?AEN的值；
?CDG（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分?PBD，AM平分?CAD，已知?PBC?25?，求?ACB??ADB的度数．
3．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，则∠AED=
．
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点E在FG延长线上时，DP平分∠EDC，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD的度数．
4．已知直线AB//CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB"与QC"的位置关系为；
（2）若射线QC先转15秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′//QC′．
5．已知，AE//BD，?A??D．
（1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，作?BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若?CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若?ACE??BAC??BGM，过点H作HM?FH交FG的延长线于点M，且3?E?5?AFH?18?，求?EAF??GMH的度数．
6．已知：AB//CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GF//EH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
7．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
11111111111?1?，??，??，??，……
1?222?3233?4344?545（1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n个等式是：______．
（2）①计算：111+++1?22?33?4+1．
49?50②若a为最小的正整数，b?3?0，求：
1111????ab?a?1??b?1??a?2??b?2??a?3??b?3???a?97??b?97?．
18．阅读下面文字：
3?1??5??2?对于??5????9??17???3?
4?2??6??3?可以如下计算：
?3???5????2????1??原式????5??????????9????????17??????3??????
4???6????3????2?????5??2?3?1?????5??9?17??3?????????????6????3??4???2??
?????????1??0???1?
?4?1??14上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
1?1?5?1?（1）?1???2??7???4?
4?3?6?2?2?3?5?1?（2）??2019??2018???2017??20163?4?6?2?9．探究与应用：
观察下列各式：
1+3＝
1+3+5＝
1+3+5+7＝
1+3+5+7+9＝
……
问题：（1）在横线上填上适当的数；
（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；
（3）根据规律计算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（结果用科学记数法表示）
10．观察下列各式：
(x－1)(x+1)=x2－1(x－1)(x2+x+1)=x3－1(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1……
（1）根据以上规律，则(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=__________________．
（2）你能否由此归纳出一般性规律(x－1)(xn+xn－1+xn－2+…+x+1)=____________．
（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．
11．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中5?1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a?___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及a?3．（图中标出必要线段的长）
12．阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理是无限不循环小数，因
此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2?1来表示2的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵23??7??32，即2?7?3，∴27的整数部分为2，小数部分为?7?2?。
请解答
（1）11的整数部分是______，小数部分是_______。
（2）如果5的小数部分为a，41的整数部分为b，求a?b?5的值。
（3）已知x是3?5的整数部分，y是其小数部分，直接写出x?y的值.
13．如图，已知A?0,a?，B?b,0?，且满足|a?4|?b?6?0.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点C?m,n?在线段AB上，m、n满足n?m?5，点D在y轴负半轴上，连CD交x轴的负半轴于点M，且S?MBC?S?MOD，求点D的坐标；
（3）平移直线AB，交x轴正半轴于E，交y轴于F，P为直线EF上第三象限内的点，过P作PG?x轴于G，若A?PAB?20，且GE?12，求点P的坐标.
14．已知，如图：射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，?PFD的角平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设?PFM???，?EMF???且???35?2?????0．
（1）??________，??________；直线AB与CD的位置关系是______；
（2）如图，若点G是射线MA上任意一点，且?MGH??PNF，试找出?FMN与?GHF之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图）分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作?PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中?FPN1的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
?Q
15．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（-3，2）．
（1）直接写出点E的坐标；D的坐标
（3）点P是线段CE上一动点，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，确定x，y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
16．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
17．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围
．
（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥2S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．
18．如图1，已知，点A(1，a)，AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B(b，0)，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足4?a?(b?3)2?0．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A(________)、B(________)、C(________)；
②直接写出三角形AOH的面积________．
（2）如图1，若点D(m，n)在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
19．李师傅要给-块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等,B款瓷砖的长大于宽.已知一块A款瓷砖和-块B款瓷砖的价格和为140元;3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等.请回答以下问题:
(1)分别求出每款瓷砖的单价.
(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少块?
(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为_米(直接写出答案).
20．数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）由题意得：点A是点B的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB表示线段AB的长，以下相同)；类似的，MN=____________．
（2）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
4（3）若AM=BN，MN=BM，求m和n值．
21．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，都等于k，那么称这个四位正整数为“k类诚勤数”，例如：2534，因为2?5?3?4?7，所以2534是“7类诚勤数”．
（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；
（2）若一个四位正整数A为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值．
22．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均
按要求一对一连线，无多连、少连．
（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分．
（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．
①问（1）班有多少人得满分？
②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？
23．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程程”，请你求出k的最大值和最小值．
3y?k+y＝2k+1是“友好方2?x?2y??3a,①24．已知关于x、y的二元一次方程?
?x?y?3a?3.②（1）若方程组的解x、y满足x?0,y?1，求a的取值范围；
（2）求代数式6x?3y?8的值．
25．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有；（直接写出结果）
?3x?2y?k?1（2）若k使得方程组?中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
?4x?3y?k?1?2x?6?x?3??3（3）若关于x的不等式组?的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整x?3??x?a??2数的值及a的取值范围．
26．阅读理解：
定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是它到点B的时距离的n（n为大于1的常数）倍，则称点C是?A,B?的n倍点，且当C是?A,B?的n倍点或?B,A?的n倍点时，我们也称C是A和B两点的n倍点．例如，在图1中，点C是?A,B?的2倍点，但点C不是?B,A?的2倍点．
（1）特值尝试．
①若n?2，图1中，点______是?D,C?的2倍点．（填A或B）
②若n?3，如图2，M，N为数轴上两个点，点M表示的数是?2，点N表示的数是4，数______表示的点是?M,N?的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点P从N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动t秒，若P恰好是M和N两点的n倍点，求所有符合条件的t的值．（用含n的式子表示）
（3）拓展应用
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的M和N两点的所有n倍点P均处于点N的“可视距离”内，请直接写出n的取值范围．（不必写出解答过程）
27．某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A，B两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．
销售数量(盏)
销售日期
A品牌
第一天
第二天
B品牌
68167销售收入(元)
（1）求A，B两种品牌护眼灯的销售价；
（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的护眼灯最多采购多少盏？
28．在平面直角坐标系xOy中，如图正方形ABCD的顶点A，B坐标分别为A??1,0?，B?3,0?，点E，F坐标分别为E?m,0?，F?3m,0?，且?1?m?2，以EF为边作正方形
EFGH.设正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分面积为S.
（1）①当点F与点B重合时，m的值为______；②当点F与点A重合时，m的值为______.
（2）请用含m的式子表示S，并直接写出m的取值范围.
29．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
30．学校美术组要去商店购买铅笔和橡皮，若购买60支铅笔和30块橡皮，则需按零售价购买，共支付30元；若购买90支铅笔和60块橡皮，则可按批发价购买，共支付40.5元．已知每支铅笔的批发价比零售价低0.05元，每块橡皮的批发价比零售价低0.10元．
（1）求每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元？
（2）小亮同学用4元钱在这家商店按零售价买同样的铅笔和橡皮（两样都要买，4元钱恰好用完），共有哪几种购买方案？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）（-2，0）；（2）①t=2；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；③能确定，z=x+y．
【分析】
（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）①由点C的坐标为（-3，2）．得到BC=3，CD=2，由于点P的横坐标与纵坐标互为相反数；于是确定点P在线段BC上，有PB=CD，即可得到结果；
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-
3，5-t）；
③如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意，可得
三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC，∵点A的坐标是（1，0），∴点E的坐标是（-2，0）；
故答案为：（-2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（-3，2）
∴BC=3，CD=2，∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
∴点P在线段BC上，∴PB=CD，即t=2；
∴当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
故答案为：2；
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；
③能确定，如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，∠1=∠CBP=x°，∠2=∠DAP=y°，∴∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=z°，∴z=x+y．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，坐标与图形的变化-平移，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）2；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∠C=∠1+∠2，证明：过C作l∥MN，如下图所示，∵l∥MN，∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，∴l∥PQ，∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），∴∠3+∠4=∠1+∠2，∴∠C=∠1+∠2；
（2）∵∠BDF=∠GDF，∵∠BDF=∠PDC，∴∠GDF=∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，∴∠CDG+2∠PDC=180°，∴∠PDC=90°-2∠CDG，由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，∴∠AEN=∠CEM，1190??(90???CDG)1，∴?AEN?CEM90???PDC2?????CDG?CDG?CDG?CDG2（3）设BD交MN于J．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，∵PQ∥MN，∴∠BJA=∠PBD=50°，∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
3．（1）70°；（2）?EAF??AED??EDG，证明见解析；（3）122°
【分析】
（1）过E作EF//AB，根据平行线的性质得到?EAF??AEH?25?，?EAG??DEH?45?，即可求得?AED；
（2）过过E作EM//AB，根据平行线的性质得到?EAF?180???MEH，?EDG??AED?180??MEH，即?EAF??AED??EDG；
（3）设?EAI?x，则?BAE?3x，通过三角形内角和得到?EDK?x?2?，由角平分线定义及AB//CD得到3x?32??2x?4?，求出x的值再通过三角形内角和求?EKD．
【详解】
解：（1）过E作EF//AB，AB//CD，?EF//CD，??EAF??AEH?25?，?EAG??DEH?45?，??AED??AEH??DEH?70?，故答案为：70?；
（2）?EAF??AED??EDG．
理由如下：
过E作EM//AB，AB//CD，?EM//CD，??EAF??MEH?180?，?EDG??AED?MEH?180?，??EAF?180???MEH，?EDG??AED?180??MEH，??EAF??AED??EDG；
（3）?EAP:?BAP?1:2，设?EAP?x，则?BAE?3x，?AED??P?32??30??2?，?DKE??AKP，又?EDK??DKE??DEK?180?，?KAP??KPA??AKP?180?，??EDK??EAP?2??x?2?，DP平分?EDC，??CDE?2?EDK?2x?4?，AB//CD，??EHC??EAF??AED??EDG，即3x?32??2x?4?，解得x?28?，??EDK?28??2??26?，??EKD?180??26??32??122?．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键．
4．（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，过O作OE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OE∥CD，∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，∴∠POQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即12t＝45+3t，解得，t＝5；
②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC"＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣180＝45+3t，解得，t＝25；
③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，即12t﹣360＝45+3t，解得，t＝45；
综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
5．（1）见解析；（2）72?
【分析】
（1）根据平行线的性质得出?A??B?180?，再根据等量代换可得?B??D?180?，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作EP//CD，延长DC至Q，过点M作MN//AB，根据平行线的性质及等量代换可得出?ECQ??BGM??DFG，再根据平角的含义得出?ECF??CFG，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出?BHF??CFH,?CFA??FAB；设?FAB??,?CFH??，根据角的和差可得出?AEC?2?AFH，结合已知条件3?AEC?5?AFH?180?可求得?AFH?18?，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：AE//BD
??A??B?180?
?A??D
??B??D?180?
?AB//CD；
（2）过点E作EP//CD，延长DC至Q，过点M作MN//AB
AB//CD
??QCA??CAB，?BGM??DFG，?CFH??BHF，?CFA?FAG
?ACE??BAC??BGM
??ECQ??QCA??BAC??BGM
??ECQ??BGM??DFG
?ECQ?ECD?180?,?DFG?CFG?180?
??ECF??CFG
AB//CD
?AB//EP
??PEA??EAB,?PEC??ECF
?AEC??PEC??PEA
??AEC??ECF??EAB
??ECF??AEC??EAB
AF平分?BAE
1??EAF??FAB??EAB
2FH平分?CFG
1??CFH??HFG??CFG
2CD//AB
??BHF??CFH,?CFA??FAB
设?FAB??,?CFH??
?AFH??CFH??CFA??CFH??FAB
??AFH????，?BHF??CFH??
??ECF?2?AFH??AEC??EAB?2?AFH??AEC?2?
??ECF?2?AFH??E?2?BHF
??AEC?2?AFH
3?AEC?5?AFH?180?
??AFH?18?
FH?HM
??FHM?90?
??GHM?90???
?CFM??NMF?180?
??HMB??HMN?90???
?EAF??FAB
??EAF??CFA??CFH??AFH???18?
??EAF??GMH???18??90????72?
??EAF??GMH?72?．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
6．（1）见解析；（2）?FME?90??【分析】
（1）由平行线的性质得到?CEH??EHB，等量代换得出?GFB??EHB，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点M作MQ//AB，过点G作GP//AB，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：?2，证明见解析．
AB//CD，??CEH??EHB，?GFB??CEH，??GFB??EHB，?GF//EH；
（2）解：?FME?90???2，理由如下：
如图2，过点M作MQ//AB，过点G作GP//AB，AB//CD，?MQ//CD，??AFM??FMQ，?QME??MEC，??FME??FMQ??QME??AFM??MEC，同理，?FGE??FGP??PGE??AFG??GEC，FM平分?AFG，EM平分?GEC，??AFG?2?AFM，?GEC?2?MEC，??FGE?2?FME，由（1）知，GF//EH，??FGE??GEH?180?，?GEH??，??FGE?180???，?2?FME?180???，??FME?90???2．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
1114914651111????7．（1），；（2）①；②
n??n?1?nn?15?6565019800【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
111111????，第n个等式是（1）根据规律得：第5个等式是；n??n?1?nn?15?656（2）①111+++1?22?33?4+1，49?50111111???????122334?11?，4950?1??1，5049；
50②a为最小的正整数，b?3?0，a1，b?3，1111????1?32?43?54?6?1，98?100原式?11111111111??(1?)??(?)??(?)+?(?)?2322423524611111111??(1????????23243546?11?)，98100111??(?)，298101111??(1???)，2299100?14651．
19800【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
118．（1）?（2）?244【分析】
（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【详解】
1?1?5?1?（1）?1???2??7???4?
4?3?6?2??1151????1?2?7?4????????
?4362??1??0????
?4?1??
4?2351?（2）原式???2019?2018?2017?2016????????
?3462??1???2????
?4?1??24【点睛】
此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
9．（1）2、3、4、5；（2）第n个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝n2；
（3）﹣1.008016×106．
【分析】
(1)根据从1开始连续n各奇数的和等于奇数的个数的平方即可得到.
(2)根据规律写出即可.
(3)先提取符号，再用规律解题.
【详解】
解：（1）1+3＝221+3+5＝321+3+5+7＝421+3+5+7+9＝52……
故答案为：2、3、4、5；
（2）第n个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝(n?1)2（3）原式＝﹣（1+3+5+7+9+…+2019）
＝﹣10102＝﹣1.0201×106．
【点睛】
本题考查数字变化规律，解题的关键是找到第一个的规律，然后加以运用即可.
351?110．（1）x－1；（2）x－1；（3）．
27n+1【分析】
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1；
（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；
11351?12495050+1··+3+3)=×（x-1）=（3）原式=×（3-1）(1+3+3+·
222故答案为：（1）x－1；（2）x【点睛】
7n+1351?1－1；（3）．
2本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
11．（1）?2，2；（2）①图见解析，5；②见解析
【分析】
（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N．
【详解】
（1）由图1知，小正方形的对角线长是2，∴图2中点A表示的数是?2，点B表示的数是2，故答案是：?2，2；
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，∴正方形的边长是5，如图所示：
故答案是：5；
②如图所示：
【点睛】
本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
12．（1）3；11﹣3；
（2）4；（3）x﹣y=7﹣5．
【分析】
（1）由3＜11＜4可得答案；
（2）由2＜5＜3知a=5﹣2，由6＜41＜7知b=6，据此求解可得；
（3）由2＜5＜3知5＜3+5＜6，据此得出x、y的值代入计算可得．
【详解】
（1）∵3＜11＜4，∴11的整数部分是3，小数部分是11﹣3；
故答案为3；11﹣3．
（2）∵2＜5＜3，∴a=5﹣2，∵6＜41＜7，∴b=6，∴a+b﹣5=5﹣2+6﹣5=4．
（3）∵2＜5＜3，∴5＜3+5＜6，∴3+5的整数部分为x=5，小数部分为y=3+5﹣5=5﹣2．
则x﹣y=5﹣（5﹣2）=5﹣5+2=7﹣5．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．
13．（1）A(0,4)，B(?6,0)；
（2）D(0,?4)；（3）P(?8,?8)
【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）利用三角形面积求法，由S?ABO?S?ACO?S?BCO列方程组，求出点C坐标，进而由△ACD面积求出D点坐标.
（3）由平行线间距离相等得到S?PAB?S?EAB?20，继而求出E点坐标，同理求出F点坐标，再由GE=12求出G点坐标，根据S?PGE?S梯形GPFO?S?OEF求出PG的长即可求P点坐标.
【详解】
解：（1）a?4?b?6?0，∴a?4?b?6?0，?a?4?0，b?6?0，?a?4，b??6，?A?0,4?，B??6,0?，（2）由S?BCM?S?DOM
∴S?ABO?S?DOM，?S?ABO?S?ACD，1S?ABO??AO?BO?12，2如图1，连CO，作CE?y轴，CF?x轴，S?ABO?S?ACO?S?BCO，11即?6?m??4???m??1222?n?m?5??，?3n?2m?12?m??3??，n?2??C??3,2?，1而S?ACD??CE?AD，21??3??4?OD??12，?OD?4，?D?0,?4?，（3）如图2：
∵EF∥AB，∴S?PAB?S?EAB?20，∴1AO?BE?20，即4??6?OE??40，?OE?4，?E?4,0?，GE?12，?GO?8，?G??8,0?，S?ABF?S?PBA?20，11?S?ABF??BO?AF??6??4?OF??20，228?OF?，38???F?0,??，3??S?PGE?S梯形GPFO?S?OEF，11?818???12?PG????PG??8??4?，22?323??PG?8，?P??8,?8?，【点睛】
本题考查的是二元一次方程的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握平移规律是解题的关键．
14．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得?FPN1=2．
?Q【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，∴α=β=35，∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）?FPN1的值不变，为2，?Q理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=2∠PEM1，∠PFQ=2∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，11∴∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，则有：??y?x??R，?2y?2x??EPM1可得∠EPM1=2∠R，∴∠EPM1=2∠FQM1，∴?EPM1?FPN1==2．
?FQM1?Q【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
15．（1）（-2，0）；（-3，0）；（2）z=x+y．证明见解析．
【分析】
（1）依据平移的性质可知BC∥x轴，BC=AE=3，然后依据点A和点C的坐标可得到点E和点D的坐标；
（2过点P作PF∥BC交AB于点F，则PF∥AD，然后依据平行线的性质可得到∠BPF=∠CBP=x°，∠APF=∠DAP=y°，最后，再依据角的和差关系进行解答即可．
【详解】
解：（1）∵将三角形OAB沿x轴负方向平移，∴BC∥x轴，BC=AE=3．
∵C（-3，2），A（1，0），∴E（-2，0），D（-3,0）．
故答案为：（-2，0）；（-3，0）．
（2）z=x+y．证明如下：如图，过点P作PF∥BC交AB于点F，则PF∥AD，∴∠BPF=∠CBP=x°，∠APF=∠DAP=y°，∴∠BPA＝∠BPF+∠APF=x°+y°=z°，∴z=x+y．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了点的坐标的特点，平移得性质，平面坐标系中点的坐标和距离的关系，解本题的关键是由线段和部分点的坐标，得出其它点的坐标．
16．（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）超市不能实现利润1400元的目标；
【分析】
（1）根据第一周和第二周的销售量和销售收入，可列写2个等式方程，再求解二元一次方
程组即可；
（2）利用不多于5400元这个量，列写不等式，得到A型电风扇a台的一个取值范围，从而得出a的最大值；
（3）将B型电风扇用(30-a)表示出来，列写A、B两型电风扇利润为1400的等式方程，可求得a的值，最后在判断求解的值是否满足（2）中a的取值范围即可
【详解】
解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，?3x?5y?1800?x?250依题意得：?，解得：?，4x?10y?3100y?210??答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台．
依题意得：200a+170（30-a）≤5400，解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）=1400，解得：a=20，∵a≤10，∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点睛】
本题是二元一次方程和一元一次不等式应用题的综合考查，解题关键是依据题意，找出等量关系式(不等关系式)，然后按照题目要求相应求解
17．（1）A，C；（2）1?t?2或5?t?6；（3）见解析
【分析】
（1）分别根据三角形的面积计算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面积即可；
（2）分线段OP在线段EF下方和线段OP在线段EF上方分别求解；
（3）画出图形，根据S△PQN=1，得到S△HMN≥2，分当xN=0时，当xN=2时，分别结合S△HMN≥2，得到不等式，求出N点纵坐标的范围．
【详解】
1解：（1）S△OPA=?1?1?1，则点A是线段OP的“单位面积点”，211S△OPB=?1?1?，则点B不是线段OP的“单位面积点”，221S△OPC=?1?2?1，则点C是线段OP的“单位面积点”，21S△OPD=?1?4?2，则点D不是线段OP的“单位面积点”，2（2）设点G是线段OP的“单位面积点”，则S△OPG=1，∵点E的坐标为（0，3），点F的坐标为（0，4），且点G在线段EF上，∴点G的横坐标为0，∵S△OPG=1，线段OP为y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，当E为单位面积点时，3?t?2,
?t?1,t?5,
当F为单位面积点时，4?t?2,
?t?2,t?6,
综上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；
（3）∵M，N是线段PQ的两个单位面积点，∴S△PQM=1，S△PQN=1，∵P（1，0），Q（1，-2），∴PQ=2，∴M，N的横坐标为0或2，∵点M在HQ的延长线上，∴点M的横坐标为xM=2，∵S△HMN≥2S△PQN，∴S△HMN≥2，当xN=0时，S△HMN=?2?HN?HN，则yH?yN?2，∴yN??1?2或yN??1?2；
当xN=2时，S△HMN=?2?MN?MN，则yM?yN?2，∴yN??3?2或yN??3?2．
1212【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．
18．（1）①1，4；3，0；2，﹣4；②2；（2）见解析；（3）t＝1.2时，P(0.6，0)，t＝2时，P(﹣1，0)．
【分析】
（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．
②利用三角形面积公式求解即可．
（2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积=△OAH的面积，构建关系式，可得结
论．
（3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论．
【详解】
（1）解：①∵又∵∴a＝4，b＝3，∴A(1，4)，B(3，0)，∵B是由A平移得到的，∴A向右平移2个单位，向下平移4个单位得到B，∴点C是由点O向右平移2个单位，向下平移4个单位得到的，∴C(2，﹣4)，故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．
②△AOH的面积＝2×1×4＝2，故答案为：2．
（2）证明：如图，连接DH．
14?a?(b?3)2?0，4?a≥0，(b﹣3)2≥0，∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，∴12×1×n＋2×4×(1﹣m)＝2，1∴4m＝n．
（3）解：①当点P在线段OB上，由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：
121OP·yA=2OQ·xC，12∴×(3﹣2t)×4＝2×2t，1解得t＝1.2．
此时P(0.6，0)．
②当点P在BO的延长线上时，由三角形AOP与三角形COQ的面积相等得：
12OP·yA=2OQ·xC，12×(2t﹣3)×4＝2×2×t，1解得t＝2，此时P(﹣1，0)，综上所述，t＝1.2时，P(0.6，0)，t＝2时，P(﹣1，0)．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
19．（1）A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元.（2）买了11块A款瓷砖，2块B款;13或8块A款瓷砖，6块B款.（3）B款瓷砖的长和宽分别为1，或1，.
45【分析】
（1）设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，根据“一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等”列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，根据共花1000元列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可；
（3）设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米，根据图形以及“A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块”可列出方程求出a的值，然后由b的值.
【详解】
解:(1)设A款瓷砖单价x元，B款单价y元，9?b是正整教分情况求出2?b?x?y?140则有?，3x?4y??x?80解得?，?y?60答:A款瓷砖单价为80元，B款单价为60元；
(2)设A款买了m块，B款买了n块，且m>n，则80m+60n=1000，即4m+3n=5∵m，n为正整数，且m>n
∴m=11时n=2；m=8时，n=6，答：买了11块A款瓷砖，2块B款瓷砖或8块A款瓷砖，6块B款瓷砖；
(3)设A款正方形瓷砖边长为a米，B款长为a米，宽b米.
79?b?9?b?7?2??1???14，由题意得：2??a2a?b?2a?b?a解得a=1.
由题可知，设9?b是正整教.
2?b9?b?k(k为正整数)，2?b
变形得到b?9?2k，k?177(?1,故合去)，22当k=1时，b?55当k=2时，b?(?1，故舍去)，33当k=3时，b?当k=4时，b?3，41，513答:B款瓷砖的长和宽分别为1，或1，.
45【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，（1）（2）较为简单，（3）中利用数形结合的思想，找出其中两款瓷砖的数量与图形之间的规律是解题的关键.
20．（1）n-m；（2）①M是AN的中点，n=2m+3；②A是MN中点，n=-m-6；③N是9?m???m?0?m??6??135n?m?AM的中点，；（3）?或?或?．
1n??2n?422???n???5?【分析】
（1）由两点间距离直接求解即可；
（2）分三种情况讨论：①M是A、N的中点，n=2m+3；②当A点在M、N点中点时，n=﹣6﹣m；③N是M、A的中点时，n??3?m；
2（3）由已知可得|m+3|=|n﹣1|，n﹣m?【详解】
（1）MN=n﹣m．
故答案为：n﹣m；
（2）分三种情况讨论：
①M是A、N的中点，∴n+(-3)=2m，∴n=2m+3；
4|m+3|，分情况求解即可．
②A是M、N点中点时，m+n=-3×2，∴n=﹣6﹣m；
③N是M、A的中点时，-3+m=2n，∴n??3?m；
（3）∵AM=BN，∴|m+3|=|n﹣1|．
∵MN?4BM，3∴n﹣m?4|m+3|，3?m?3?n?1?m?3?n?1?m?3??n?1?m?3??n?1∴?或?或?或?，3n?3m?4m?123n?3m??4m?123n?3m?4m?123n?3m??4m?12????9?m???m?0?m??6??5?m?3∴?或?或?或?．
1n??5n??2n?4????n???5?∵n＞m，9?m???m?0?m??6??5∴?或?或?．
1n??2n?4???n???5?【点睛】
本题考查了列代数式，解二元一次方程组以及数轴上两点间的距离公式，解答本题的关键是：（1）根据两点间的距离公式求出线段AB的长；（2）分三种情况讨论；（3）分四种情况讨论．解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程是关键．
21．（1）7441不是“诚勤数”；5463是“诚勤数”；（2）满足条件的A为：2314或5005或3250．
【分析】
（1）直接利用定义进行验证，即可得到答案；
（2）由题意，设这个四位数的十位数是a，千位数是b，则个位数为（5-a），百位数为（5-b），然后根据13的倍数关系，以及“5类诚勤数”的定义，利用分类讨论的进行分析，即可得到答案．
【详解】
解：（1）在7441中，7+4=11，4+1=5，∵11?5，∴7441不是“诚勤数”；
在5436中，∵5+4=6+3=9，∴5463是“诚勤数”；
（2）根据题意，设这个四位数的十位数是a，千位数是b，则个位数为（5-a），百位数为（5-b），且0?a?5，1?b?5，∴这个四位数为：
1000b?100(5?b)?10a?(5?a)?900b?9a?505，∵900?13?693，505?13?3811，∴900b?9a?505?(13?69?3)b?9a?13?38?11?13?(69b?38)?3b?9a?11，∵这个四位数是13的倍数，∴3b?9a?11必须是13的倍数；
∵0?a?5，1?b?5，∴3b?9a在a?b?5时，取到最大值60，∴3b?9a可以为：2、15、28、41、54，∵3b?9a?3(b?3a)，则3b?9a是3的倍数，∴3b?9a?15或3b?9a?54，∴b?3a?5或b?3a?18；
①当b?3a?5时，a?5?b，3∵1?b?5，且a为非负整数，∴5?b?0或5?b?3，∴b?5或b?2，若b?5，则a?0，此时900b?9a?505?5005；
若b?2，则a?1，此时900b?9a?505?2314；
②当b?3a?18时，a?18?b，3∵1?b?5，且a为非负整数，∴18?b是3的倍数，且13?18?b?17，∴18?b?15，∴b?3，则a?5，∴900b?9a?505?3250；
综合上述，满足条件的A为：2314或5005或3250．
【点睛】
本题考查了二元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出二元一次方程，结合新定义，利用分类讨论的思想进行解题．
22．（1）15；（2）①七年级（1）班有24人得满分；②七年级（2）班的总分高．
【分析】
（1）分别对连正确的数量进行分析，即可得到答案；
x（2）①设七年（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，然后列出方程，解方程即可2得到答案；
②根据题意，先求出两个班各分数段的人数，然后求出各班的总分，即可进行比较．
【详解】
解：（1）根据题意，连对0个得分为0分；
连对一个得分为5分；
连对两个得分为10分；
连对四个得分为20分；
不存在连对三个的情况，则得15分是不可能的；
故答案为：15．
（2）①根据题意，x设七年（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，则
24?x?x?40，2解得：x?24，∴（1）班有24人得满分；
②根据题意，（1）班中除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，∴（1）班得5分和10分的人数相等，1人数为：(40?4?24)?6（人）；
2∴（1）班得总分为：4?0?6?5?6?10?24?20?570（分）；
由题意，（2）班存在得5分、得10分、得20分，三种情况，设得5分的有y人，得10分的有z人，满分20分的有(2y?z)人，∴y?z?(2y?z)?40，∴3y?2z?40，∴七（2）班得总分为：
5y?10z?20(2y?z)?45y?30z?15(3y?2z)?15?40?600（分）；
∵570?600，∴七（2）班的总分高．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握题目的等量关系，列出方程进行解题．
2823．（1）是；（2）k的最小值为﹣，最大值为
33【分析】
（1）分别解出两个方程，得到x﹣y的值，即可确定两个方程是“友好方程”；
（2）分别解两个方程为x＝1，y?范围为即可求解．
【详解】
7解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝?，33k?23k?2≤1，求出k的取值，再由已知可得﹣1≤1?55由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3，2∴x﹣y＝，3∴﹣1≤x﹣y≤1，∴方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”；
（2）由3x﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1，由3k?23y?k?y?2k?1，解得y?，52∵两个方程是“友好方程”，∴﹣1≤x﹣y≤1，∴﹣1≤1?3k?2≤1，528∴??k?
3328∴k的最小值为﹣，最大值为．
33【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．（1）0?a?2；（2）-1【分析】
（1）解方程组求出x、y的值，根据x?0,y?1列不等式组求出答案；
（2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案．
【详解】
?x?a?2解：（1）解方程组得?，?y?1?2a∵x?0,y?1，?a?2?0∴?,
1?2a?1?解得0?a?2；
（2）由①+②得2x+y=-3，∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9，∴6x?3y?8=-9-8=-17．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．
525．（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2，?3＜a??
2【分析】
（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解】
解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，又∵|PQ|＝2，∴连动数Q的范围为：-3?Q??1或1?Q?3，∴连动数有-2.5，2；
?3x?2y?k?1①（2）?，?4x?3y?k?1②②×3-①×4得：y=?k?7，①×3-②×2得：x?k?5，要使x，y均为连动数，?3?x??1或1?x?3，解得?8?k??6或?4?k??2?3?y??1或1?y?3，解得?6?k??4或?10?k??∴k=-8或-6或-4；
?2x?6?x?3??3（3）?解得：
?x?3?x?a??2?x?3，??x?2a?3∵解集中恰好有4个解是连动整数，∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，∴?3?2a?3??2，5∴?3?a??
25∴a的取值范围是?3?a??．
2【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，533n3n526．（1）①B；②7或；（2）t?或t?或t?；（3）n≥．
21?n1?nn?14【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可求出答案；
②根据新定义的概念列出绝对值方程即可求解；
（2）设P点所表示的数为4-2t，再根据新定义的概念列出方程即可求解；
（3）分t?33n3n，t?，t?三种情况分别表示出PN的值，再根据PN的范围列出1?n1?nn?1不等式组即可求解．
【详解】
（1）①由数轴可知，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，点C表示的数为1，点D表示的数为0，∴AD=1，AC=2∴AD=2AC
∴点A不是?D,C?的2倍点
∴BD=2，BC=1∴BD=2BC
∴点B是?D,C?的2倍点
故答案为：B；
②若点C是点?M,N?的3倍点
∴CM=3CN
设点C表示的数为x
∴CM=x?2，CN=x?4∴x?2=3x?4即x?2?3?x?4?或x?2??3?x?4?
5解得x=7或x=
25∴数7或表示的点是?M,N?的3倍点．
25故答案为：7或；
21（2）设点P表示的数为4-2t，∴PM=4?2t?2，PN=2t
∵若P恰好是M和N两点的n倍点，∴当点P是?M,N?的n倍点
∴PM=nPN
∴4?2t?2=n×2t
即6-2t=2nt或6-2t=-2nt
解得t?∵n＞133或t?
1?n1?n
∴t?31?n∴当点P是?N,M?的n倍点
∴PN=nPM
∴2t=n×4?2t?2即2t=n×?6?2t?或-2t=n×?6?2t?
解得t?3n3n或t?
1?nn?133n3n或t?或t?；
1?n1?nn?1∴符合条件的t值有t?（3）∵PN=2t
∴当t?当t?当t?36时，PN=
1?n1?n3n6n时，PN=，1?n1?n6n3n时，PN=
n?1n?1∵点P均在点N的可视距离之内
∴PN≤3?6?1?n?30?6n??30?∴?1?n
?6n?30?n?1???n＞15解得n≥
45∴n的取值范围为n≥．
4【点睛】
此题主要考查主要方程与不等式组的应用，解题的关键是根据新定义概念列出方程或不等式求解．
27．（1）A品牌为210元/盏，B品牌为260元/盏．（2）10盏．
【分析】
（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，根据总价=单价×数量结合两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，?2x?y?680依题意，得：?，?3x?4y?1670?x?210解得：?．
y?260?答：A品牌护眼灯的销售价为210元/盏，B品牌护眼灯的销售价为260元/盏．
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，依题意，得：150(30-m)+190m≤4900，解得：m≤10．
答：B品牌的护眼灯最多采购10盏．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
销售数量(盏)
销售日期
A品牌
第一天
第二天
B品牌
68167销售收入(元)
???2m2?6m1?m?2????2?1??4m???m?0?1?3?28．（1）①1；②?；（2）S??.
3?4m2?0?m?1???1??2?2m?2m?1?m?????3???【分析】
（1）①②根据点F的坐标构建方程即可解决问题．
（2）分四种情形：①如图1中，当1≤m≤2时，重叠部分是四边形BEGN．②如图2中，1当0＜m＜1时，重叠部分是正方形EFGH．③如图3中，-1＜m＜?时，重叠部分是矩形31AEHN．④如图4中，当?-≤m＜0时，重叠部分是正方形EFGH．分别求解即可解决问3题．
【详解】
解：（1）①当点F与点B重合时，由题意3m=3，∴m=1．
②当点F与点A重合时，由题意3m=-1，1∴m=?，31故答案为1，?．
3（2）①当1?m?2时，如图1.
BE?3?m，HE?EF?3m?m?2m.
S?BE?HE?2m?3?m???2m2?6m.
②当0?m?1时，如图2.
EF?3m?m?2m.
S?EF2??2m??4m2.
1③当?1?m??时，如图3.
3AE?m???1??m?1，HE?EF?m?3m??2m.
S?AE?HE??2m?m?1???2m2?2m
1④当??m?0时，如图4.
3EF?m?3m?2m.
S?EF2???2m??4m2.
综上，???2m2?6m1?m?2????2?1??4m???m?0?S???3?.
2?4m?0?m?1???1??2??2m?2m??1?m???3???【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
29．（1）1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元
【分析】
（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑
橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；
②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，?2x?3y?12依题意，得：?，3x?4y?17?解得：?y?2．
??x?3故答案为：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．
（2）①依题意，得：3m+2n＝21，2∴m＝7﹣n．
3又∵m，n均为非负整数，?m?1?m?3?m?5?m?7∴?或?n?6或?n?3或?．
n?0??n?9??答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．
②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），方案4所需租车费为120×7＝840（元）．
∵1020＞960＞900＞840，故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．
【点睛】
本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．
30．（1）每支铅笔的批发价为0.25元，每块橡皮的批发价为0.3元；（2）小亮共有三种购买方案
【分析】
（1）设每支铅笔的批发价为x元，每块橡皮的批发价为y元，根据“若购买60支铅笔和30块橡皮，则需按零售价购买，共支付30元；若购买90支铅笔和60块橡皮，则可按批发价购买，共支付40.5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m支铅笔，n块橡皮，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．
【详解】
（1）设每支铅笔的批发价为x元，每块橡皮的批发价为y元，?60(x?0.05)?30(y?0.10)?30依题意，得：?，90x?60y?40.5??x?0.25解得：?．
y?0.3?答：每支铅笔的批发价为0.25元，每块橡皮的批发价为0.3元．
（2）设可以购买m支铅笔，n块橡皮，依题意，得：（0.25+0.05）m+（0.3+0.1）n＝4，3∴n＝10﹣m．
4∵m，n均为正整数，?m?4?m?8?m?12∴?，?，?，n?1n?4n?7???∴小亮共有三种购买方案，方案1：购买4支铅笔，7块橡皮；方案2：购买8支铅笔，4块橡皮；方案3：购买12支铅笔，1块橡皮．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，解题时需注意分析题意，找出等量关系列出方程组，同时注意m，n均为正整数，由此得出三种方案.
篇九：|a|e等于什么
、希腊字母：
α——阿尔法
β——贝塔
γ——伽马
Δ——德尔塔
ξ——可sei
ψ——可赛
ω——奥秘噶
μ——米哟
λ——南木打
σ——西格玛
τ——套
φ——fai2、数学运算符：
∑—连加号
∏—连乘号
∪—并
∩—补
∈—属于
∵—因为
∴—所以
√—根号
‖—平行
⊥—垂直
∠—角
⌒—弧
⊙—圆
∝—正比于
∞—无穷
∫—积分
≈—约等
≡—恒等
3、三角函数：
sin—赛因
cos—考赛因
tan—叹近体
cot—考叹近体
sec—赛看近体
csc—考赛看近体
序号
大写
小写
英文注音
国际音标注音
中文注音
1Ααalphaa:lf阿尔法
2Ββbetabet贝塔
3Γγgammaga:m伽马
4Δδdeltadelt德尔塔
5Εεepsilonep`silon伊普西龙
6Ζζzetazat截塔
7Ηηetaeit艾塔
8Θθthetθit西塔
9Ιιiotaiot约塔
10Κκkappakap卡帕
11Λλlambdalambd兰布达
12Μμmumju缪
13Ννnunju纽
14Ξξxiksi克西
15Οοomicronomik`ron奥密克戎
16Ππpipai派
17Ρρrhorou肉
18Σσsigma`sigma西格马
19Ττtautau套
20Υυupsilonjup`silon宇普西龙
21Φφphifai佛爱
22Χχchiphai西
23Ψψpsipsai普西
24Ωωomegao`miga欧米伽
希腊字母的正确读法是什么？
1Ααalphaa:lf阿尔法
2Ββbetabet贝塔
3Γγgammaga:m伽马
4Δδdeltadelt德尔塔
5Εεepsilonep`silon伊普西龙
6Ζζzetazat截塔
7Ηηetaeit艾塔
8Θθthetθit西塔
9Ιιiotaiot约塔
10Κκkappakap卡帕
11∧
λlambdalambd兰布达
12Μμmumju缪
13Ννnunju纽
磁阻系数
14Ξξxiksi克西
15Οοomicronomik`ron奥密克戎
16∏πpipai派
17Ρρrhorou肉
18∑σsigma`sigma西格马
19Ττtautau套
20Υυupsilonjup`silon宇普西龙
21Φφphifai佛爱
22Χχchiphai西
23Ψψpsipsai普西
角速；
24Ωωomegao`miga欧米伽
希腊字母读法
Αα：阿尔法
Alpha
Ββ：贝塔
Beta
Γγ：伽玛
Gamma
Δδ：德尔塔
Delte
Εε：艾普西龙
Epsilon
ζ：捷塔
Zeta
Ζη：依塔
Eta
Θθ：西塔
Theta
Ιι：艾欧塔
Iota
Κκ：喀帕
Kappa
∧λ：拉姆达
Lambda
Μμ：缪
Mu
Νν：拗
Nu
Ξξ：克西
Xi
Οο：欧麦克轮
Omicron
∏π：派
Pi
Ρρ：柔
Rho
∑σ：西格玛
Sigma
Ττ：套
Tau
Υυ：宇普西龙
Upsilon
Φφ：faiPhi
Χχ：器
Chi
Ψψ：普赛
Psi
Ωω：欧米伽
Omega
数学符号大全
2008年01月29日
星期二15:25因为自然科学的讨论经常要用到数学，但用文本方式只能表达
L!td5wxr^|$sY
左右结构的数学公式，上下结构、根式、指数等都很难表达。为了
便于广大网友在讨论中有一种统一的相互能共通的用文本方式表达
*z;|(TH^pa1F
数学公式的方法，汇总诸位热心数学网友的意见后，在本版提出以
`JRz"@/X
下的用文本方式表达（原非文本结构的）数学公式的初步的标准：
x^n
表示x的n次方，如果n是有结构式，n应外引括号；
（有结构式是指多项式、多因式等表达式）
tc|*@|6_6C,wD(V
x^(n/m)
表示x的n/m次方；
SQR(x)
表示x的开方；
L#}Ef;E;f
1|H#[%yp
sqrt(x)
表示x的开方；
9U`4?Nd
√(x)
表示x的开方,
如果x为单个字母表达式，x的开方可简表为√x；
1J;r6u^}
x^(-n)
表示x的n次方的倒数；
x^(1/n)
表示x开n次方；
log_a,b
表示以a为底b的对数;8MHD4w5_A(wDp
x_n
表示x带足标n;
∑(n=p,q)f(n)
表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连加和，Y-t2lP+R"r
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
6a7t}0zHA%tSa(X
6f+wQQ0OWY
∑(n=p,q;r=s,t)f(n,r)
表示
∑(r=s,t)[∑(n=p,q)f(n,r)],
8w3b]5{w!Jr
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
FpjCG+PN7odl?F
vpaqfL}h
∏(n=p,q)f(n)
表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连乘积,
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
&~R0is#uO"J
∏(n=p,q;r=s,t)f(n,r)
表示
∏(r=s,t)[∏(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
"O|gi%Yn
lim(x→u)f(x)
表示f(x)的x趋向u时的极限,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
5aI#@?%K@~!K
lim(y→v;x→u)f(x,y)表示
lim(y→v)[lim(x→u)f(x,y)],
d&u{"?0tAKuMD
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
OX-}b"vRT9w
∫(a,b)f(x)dx
表示对f(x)从x=a至x=b的积分,7cT;y`n(P)k\Gk)J
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
∫(c,d;a,b)f(x,y)dxdy
表示∫(c,d)[∫(a,b)f(x,y)dx]dy,
o*M4vN}md
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
,H*Fh9Z1Mj[(R
∫(L)f(x,y)ds
表示f(x,y)在曲线L上的积分,
3|[^4l3GH
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
@Ve2g{;t+mS
∫∫(D)f(x,y,z)dσ
表示f(x,y,z)在曲面D上的积分,
如果f(x，y，z)是有结构式，f(x，y，z)应外引括号；
T{(Trx^$M(_
∮(L)f(x,y)ds
表示f(x,y)在闭曲线L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∮∮(D)f(x,y,z)dσ
表示f(x,y,z)在闭曲面D上的积分,
POexo+?kN.c
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
;l.i6Ho7_/}no.N
∪(n=p,q)A(n)
表示n从p到q之A(n)的并集，-`oc`;\rL[
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
7E{K)T.b_
/qtcgr2i7f
∪(n=p,q;r=s,t)A(n,r)
表示
∪(r=s,t)[∪(n=p,q)A(n,r)],
#VHFucI.ekw\F
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
^yi6a?3kT
ry_k9`!M
∩(n=p,q)A(n)
表示n从p到q逐步变化对A(n)的交集,Q/G0`0v{
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∩(n=p,q;r=s,t)A(n,r)
表示
∩(r=s,t)[∩(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
M.s@I4sU+w`G\
……。
m9jn#nv&OT4a
当文本格式表达找不到表达符的表达代替字符初步标准有：
a（≤A
表示a为A的子集；
4zD0CkrdPCp#c
A≥）a
表示A包含a；
a（＜A
表示a为A的真子集；
Z0e|KygM0_&w
A＞）a
表示a为A的真子集；
……。
(ij1[8FK"{_bz"W,f
XVDY4S3]tk@
注：
顺序结构的表达式是按以下的优先级决定运算次序：
#QIteZJvp(P
1.函数；
2.幂运算；
3.乘、除；
4.加、减。
复合函数的运算次序为由内层至外层。
在表达式中如果某有结构式对于前面部分应作整体看待时，应将作整体看待的部分外加括号。例如，相对论运动质量公式
hmj&G!P3aI1SE)U
可表为：
7gcKE1K
m=m0/SQR(1-v^2/c^2)`1TK;j|
=m0/SQR[1-(vv)/(cc)]；
yT^U+i!S
#@HtML
但不能表为
zx4c@~XC
m=m0/SQR(1-vv/cc)；
因上式中的vv/cc会让人误解为v平方除c再乘c。
连加连乘式中的∑∏等字符须用全角字符。如果使用了
T6d)[$iv8J:C
半角的ASCII字符，虽然公式紧凑了，有可能会因不同电脑、不同的软件、不同的设置中使用了不同ASCII字符集(ASCII
扩展字符，最高位为1)会显不同的字符。结果会引起对方的q~,jnJ&?[
误解。
w8[Ys*YS/VKd
各种符号的英文读法
"exclam"＝"!""at"＝"@""numbersign"＝"#""dollar"＝"$""percent"＝"%""caret"＝"^""ampersand"＝"&""asterisk"＝"*""parenleft"＝"(""parenright"＝")""minus"＝"-""underscore"＝"_""equal"＝"=""plus"＝"+""bracketleft"＝"""braceright"＝"}""semicolon"＝";""colon"＝":""quote"＝""""doublequote"＝""""backquote"＝""""tilde"＝"~""backslash"＝"\""bar"＝"|""comma"＝",""less"＝"<""period"＝".""greater"＝">""slash"＝"/""question"＝"?""space"＝""~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
￣hyphen连字符
"apostrophe省略号；所有格符号
—dash破折号
‘’singlequotationmarks单引号
“”doublequotationmarks双引号
()parentheses圆括号
squarebrackets方括号
Anglebracket{}Brace《
》Frenchquotes法文引号；书名号...ellipsis省略号
¨tandemcolon双点号
"ditto同上
‖parallel双线号
／virgule斜线号
＆ampersand=and～swungdash代字号
section;division分节号
→arrow箭号；参见号
＋plus加号；正号
－minus减号；负号
±plusorminus正负号
×ismultipliedby乘号
÷isdividedby除号
＝isequalto等于号
≠isnotequalto不等于号
≡isequivalentto全等于号
≌isequaltoorapproximatelyequalto等于或约等于号≈isapproximatelyequalto约等于号
＜islessthan小于号
＞ismorethan大于号
≮isnotlessthan不小于号
≯isnotmorethan不大于号
≤islessthanorequalto小于或等于号
≥ismorethanorequalto大于或等于号
％percent百分之…
‰permill千分之…
∞infinity无限大号
∝variesas与…成比例
√(square)root平方根
∵since;because因为
∴hence所以
∷equals,as(proportion)等于，成比例
∠angle角
⌒semicircle半圆
⊙circle圆
○circumference圆周
πpi圆周率
△triangle三角形
⊥perpendicularto垂直于
∪unionof并，合集
∩intersectionof交，通集
∫theintegralof…的积分
∑(sigma)summationof总和
°degree度
′minute分
″second秒
＃
number…号
℃Celsiussystem摄氏度
＠at单价
x"是xprime(比如转置矩阵)x"是xdouble-prime数学符号大全(2009-04-1711:16:36)
标签：数学符号
整函数
圆周率
常用对数
导函数
9分类：教育与讽刺
快考试了该出卷子了，复杂的数学符号好难啊
copy一下吧
没有的请大家添在留言栏吧，数学符号大全
1几何符号
⊥
∥
∠
⌒
⊙
≡
≌
2代数符号
∝
∧
∨
～
∫
≠
≤
3运算符号
×
÷
√
±
4集合符号
∪
∩
∈
5特殊符号
∑
π（圆周率）
6推理符号
|a|
⊥
∽
△
∠
≡
±
≥
≤
∈
↑
→
↓
↖
↗
∧
∨
&;
①②
③④
⑤⑥
⑦
Γ
Δ
Θ
Λ
Ξ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ε
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
χ
ψ
ω
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
△
≥
≈
∞
∩
∪
←
↘
↙
⑧
⑨
⑩
Ο
Π
ζ
η
τ
υ
∶≠
Σ
∥
θ
φ
ⅰ
ⅱ
ⅲ
ⅳ
ⅴ
ⅵ
ⅶ
ⅷ
ⅸ
ⅹ
∈
∏
∑
∕
√
∝
∞
∟
∠
∣
∥
∧
∨
∩
∪
∫
∮
∴
∵
∶
∷
∽
≈
≌
≒
≠
≡
≤
≥
≦
≧
≮
≯
？
⊙
⊥
⊿
⌒
℃
指数0123：º¹²³
符号
意义
∞
无穷大
PI
圆周率
|x|
函数的绝对值
∪
集合并
∩
集合交
≥
大于等于
≤
小于等于
≡
恒等于或同余
ln(x)
自然对数
lg(x)
以2为底的对数
log(x)
常用对数
floor(x)
上取整函数
ceil(x)
下取整函数
xmody
求余数
{x}
小数部分x-floor(x)
∫f(x)δx
不定积分
∫[a:b]f(x)δx
a到b的定积分
[P]
P为真等于1否则等于11∑[1≤k≤n]f(k)
对n进行求和,可以拓广至很多情况
如：∑[nisprime][n<10]f(n)
∑∑[1≤i≤j≤n]n^2limf(x)(x->?)
求极限
f(z)
f关于z的m阶导函数
C(n:m)
组合数,n中取m
P(n:m)
排列数
m|n
m整除n
m⊥n
m与n互质
a∈A
a属于集合A
#A
集合A中的元素个数
∈
∏
∑
√
∞
∠
∣
∥
∧
∨
∩
∪
∫
∮
∴
∵
∽
≈
≌
≠
≡
≤
≥
≦
≧
？
⊙
⊥
•数学符号大全收藏
运算符：
±×÷∶∫∮
≡
≌
≈∽
∝
≒
≠≡
≤≥≦
≧
≮
≯
／
√‰∑∏＆
关系运算符：
∧
∨
集合符号：
∪
∩
∈
∣
序号：
①②
③④
⑤⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
ⅰ
ⅱ
ⅲ
ⅳ
ⅴ
ⅵ
ⅶ
ⅷ
ⅸ
ⅹ
≈
㈠
㈡
㈢
㈣
㈤
㈥
㈦
㈧
㈨
㈩
其它：
～±×÷∑
∪
∩
∈
√
∥
∠
⊙
≡
≌
≈
∽
≠
≮
≯
≤
≥
∞
∵
∴
♂
♀
℃
￠
‰
☆
★
○
●
◎
◇
◆
□
■
△
▲
→
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
Ⅹ
Ⅺ
Ⅻ
＊
Π
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
αβγδεζηθι
κλμνξοπρστυφχψω
←
↑
→
↓
↖
↗
↘
↙
∞∴
∵
∶
∷
°′″℃
⊕
⊿
△
⊙
∠
⌒
⊥
∥
〔
〕
〈
〉
《》
「
」
『
』
〖
〗
【
】
（）
［
］
｛
｝
℡
№※
＃
＆
＠
☆
★
○
●◎
△
▲
◇
◆
□■
〓
◣
◥
◤
◢
♀
♂
←↑→↓↖↗↘↙∈∏∑⊥⊿∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪
12∫∮∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯
﹟﹠﹡﹢﹣﹤﹥﹦﹨﹩﹪﹫！﹖﹗＂＃＄％＆＇＊＼＾＿
｀｜～￠￡￢￣￤￥
⊕⊙⌒▔▕■□▲△▼▽◆◇○◎●◢◣◤◥★☆☉♀♂
、。〃〆〇〒〓〝〞＊╳×±·＋，－．／
︵︶︷︸︹︺︻︼︽︾︿﹀﹁﹂﹃﹄﹍﹙﹚（）
﹛﹜﹤﹥﹝﹞〔〕［］｛｝〈〉《》「」『』【】〖〗
ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧ
ШЩЪЫЬЭЮЯЁ
абвгдежзийклмнопрстуфхцч
шщъыьэюяё
a（≤A
表示a为A的子集；
A≥）a
表示A包含a；
a（＜
A
表示a为A的真子集；
A＞）a
表示a为A的真子集；
∑(n=p,q)f(n)表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连加和，如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
∑(n=p,q;r=s,t)f(n,r)表示
∑(r=s,t)[∑(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
∏(n=p,q)f(n)表示f(n)的n从p到q逐步变化对f(n)的连乘积,
如果f(n)是有结构式，f(n)应外引括号；
∏(n=p,q;r=s,t)f(n,r)表示
∏(r=s,t)[∏(n=p,q)f(n,r)],
如果f(n，r)是有结构式，f(n，r)应外引括号；
lim(x→u)f(x)表示
f(x)的x趋向
u时的极限,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
lim(y→v;x→u)f(x,y)表示
lim(y→v)[lim(x→u)f(x,y)],
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫(a,b)f(x)dx表示对
f(x)从
x=a至
x=b的积分,
如果f(x)是有结构式，f(x)应外引括号；
∫(c,d;a,b)f(x,y)dxdy表示∫(c,d)[∫(a,b)f(x,y)dx]dy,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫(L)f(x,y)ds表示
f(x,y)在曲线
L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∫∫(D)f(x,y,z)dσ表示
f(x,y,z)在曲面
D上的积分,
如果f(x，y，z)是有结构式，f(x，y，z)应外引括号；
∮(L)f(x,y)ds表示
f(x,y)在闭曲线
L上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∮∮(D)f(x,y,z)dσ表示
f(x,y,z)在闭曲面
D上的积分,
如果f(x，y)是有结构式，f(x，y)应外引括号；
∪(n=p,q)A(n)表示n从p到q之A(n)的并集，如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∪(n=p,q;r=s,t)A(n,r)表示
∪(r=s,t)[∪(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
∩(n=p,q)A(n)表示n从p到q逐步变化对A(n)的交集,
如果A(n)是有结构式，A(n)应外引括号；
∩(n=p,q;r=s,t)A(n,r)表示
∩(r=s,t)[∩(n=p,q)A(n,r)],
如果A(n，r)是有结构式，A(n，r)应外引括号；
13